Prüfungsteil 2 2022

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Hier findest du die Aufgaben aus dem Prüfungsteil 2 der ZP 10 Mathe 2022 für den MSA mit ausführlichen Musterlösungen.

Für diese Aufgaben stehen dir in der Zentralen Prüfung 90 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Taschenrechner und Formelsammlung sind für diesen Prüfungsteil erlaubt.

Aufgabe 1: Rösti

Ein Unternehmen stellt nach eigenem Rezept aus Kartoffeln sogenannte Rösti her (Abbildung 1 und 2). Dazu wird der Teig in eine zylindrische Form gegossen (Abbildung 3) und anschließend gebacken. Für ein Rösti benötigt man $100 \mathrm{~g}$ Teig.

Zeige rechnerisch, dass aus der Teigmenge eines Rezeptes sieben Rösti hergestellt werden können (Abbildung 2). (2 P)
Gesamtmasse des Rezepts
Bestimme, wie viel der Teig eines Rezepts wiegt, indem du die Masse aller einzelner Zutaten addierst.
$M_{gesamt}=520~\text{g}+60~\text{g}+110~\text{g}+20~\text{g}=710~\text{g}$
Anzahl Röstis
Teile die Gesamtmasse des Teigs $710~\text{g}$ durch die Teigmasse, die man für ein Rösti braucht. Dies sind $100~\text{g}$ .
$710~\text{g}:100~\text{g}=7{,}1$
$\rightarrow$ Aus der Teigmenge eines Rezepts können $7,1$ - also $7$ ganze - Röstis hergestellt werden.
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Addiere die Masse der einzelnen Zutaten des Rezepts.
Teile das Gesamtgewicht des Teigs aus einem Rezept durch das Gewicht eines Rösti.
$100 \mathrm{~g}$ Teig haben ein Volumen von $81 \mathrm{~cm}^{3}$ .
Berechne, wie viel Gramm ein Kubikzentimeter Teig wiegt. (2 P)

Berechnung für einen Kubikzentimeter
$81 cm^3\mathop{\widehat{=}} 100g$
$1cm^3 \mathop{\widehat{=}}100g:81$
$1cm^3\approx1{,}23g$
1 Kubikzentimeter wiegt $1,23 g$ .
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Teile die Masse durch das Volumen.
Ein Rösti soll $2 \mathrm{~cm}$ dick sein und ein Volumen von $81 \mathrm{~cm}^{3}$ haben.
Zeige, dass die zylindrische Form einen Durchmesser von ca. $7{,}2 \mathrm{~cm}$ haben muss. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
$V_{\text{Zylinder}}=r^2\cdot \pi\cdot h$
$81=r^2\cdot 3{,}14\cdot 2\qquad|:(3{,}14\cdot 2)$
$r^2=81:6{,}28$
$r=\sqrt{ 12{,}89}$
$r = 3,59$
$\Rightarrow d=2\cdot 3{,}59=7{,}18\approx 7{,}2$
Der Durchmesser muss $7,2 c m$ betragen.
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Berechne den Radius des Zylinders mit Hilfe der Volumenformel.
Für den Durchmesser multipliziere den Radius mit 2.
Das Unternehmen möchte zusätzlich Mini-Rösti herstellen. Ein Mini-Rösti soll auch $2 \mathrm{~cm}$ dick sein, aber nur das halbe Volumen haben. Ein Mitarbeiter behauptet: „Für ein Mini-Rösti brauchen wir eine Form mit halbem Durchmesser!“ Hat er recht?
Begründe deine Entscheidung. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Volumen Minirösti
$81~cm^3:2=40{,}5~cm^3$
Volumen des Zylinders mit halbem Durchmesser
$V=r^2\cdot\pi\cdot h$
$V=1{,}8^2\cdot 3{,}14\cdot 2$
$V=20{,}35\approx 20{,}4$
Vergleiche die Werte
$20,4 < 40,5$
Der Mitarbeiter hat nicht Recht. Das Volumen des Zylinders mit halbem Durchmesser ist deutlich kleiner als das Volumen des Minirösti.
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Berechne das Volumen des Minirösti.
Berechne das Volumen des Zylinders mit halbem Durchmesser.
Vergleiche beide Werte.
Bevor die Rösti verpackt werden, wird zuerst das Gewicht und dann das Aussehen kontrolliert. Alle Rösti, deren Gewicht oder deren Aussehen nicht der Vorgabe entsprechen, werden aussortiert. Das Baumdiagramm zeigt die Anteile. Die Anteile werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten gedeutet.
Ergänze die fehlenden Angaben im Baumdiagramm. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Beschriftetes Baumdiagramm
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Berechne, wie viel Prozent der Rösti insgesamt den Vorgaben entsprechen. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pfadregeln
Berechnung mit der 1. Pfadregel (Produktregel)
Markiere im Baumdiagramm, welcher Pfad die Röstis beschreibt, die den Vorgaben entsprechen:
Laut der 1. Pfadregel kannst du die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten multiplizierst:
$98\%\cdot99\%=0{,}98\cdot0{,}99=0{,}9702=97{,}02\%$
$\rightarrow$ 97,02% der Rösti entsprechen den Vorgaben.
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Berechne den Prozentwert mit der 1. Pfadregel (Produktregel).

Das Unternehmen kontrolliert an einem Tag 10000 Rösti.

Wie viele Rösti werden vermutlich aussortiert, weil sie nicht den Vorgaben entsprechen?

Notiere deine Rechnung. (3 P)

2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2: Wassermelonen
Für ein Schulprojekt beschäftigt sich Sinja mit der Form und dem Wachstum von Wassermelonen.
Sinja hat eine nahezu kugelförmige Wassermelone gekauft, die einen Durchmesser von ca. $25 \mathrm{~cm}$ hat (Abbildung 1).
Abbildung 1: aufgeschnittene Wassermelone
1. Zeige rechnerisch, dass diese Wassermelone ein Volumen von $V \approx 8200 \mathrm{~cm}^{3}$ hat. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
  Volumen berechnen
  $V_{\text{Kugel}} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$
  $r=\dfrac{d}{2}=12{,}5$
  $V_{\text{Melone}} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi\cdot 12{,}5^3=8181{,}230\approx8200$
  Das Volumen der Wassermelone beträt rund $8200 c m^{3}$ .
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  Berechne das Volumen der Kugel.
2. Die Schale der Wassermelone hat eine Dicke von $1{,}5 \mathrm{~cm}$ (Abbildung 1).
  Berechne den prozentualen Anteil des Fruchtfleisches an der ganzen Wassermelone. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
  Volumen des Fruchtfleisches
  $V_{\text{Kugel}}=\dfrac43 \cdot \pi \cdot r^3$
  $r_{\text{Fruchtfleisch}}=12{,}5-1{,}5=11$
  $V_{\text{Fruchtfleisch}}=\dfrac43 \cdot 3{,}14\cdot 11^3\approx5575{,}279$
  Prozentualer Anteil des Fruchtfleisches an der Wassermelone
  $p=\dfrac{W}{G}$
  $p=\dfrac{5575{,}279\cdot 100}{8200}=67{,}99\approx 68$
  Der Anteil des Fruchtfleisches beträgt etwa $68 %$ .
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  Berechne das Volumen des Fruchtfleisches.
  Berechne den prozentualen Anteil des Fruchtfleisches an der Wassermelone.
3. Sinja entdeckt würfelförmige Wassermelonen, die in Japan verkauft werden (Abbildungen 2).
  Eine würfelförmige Wassermelone hat ebenfalls ein Volumen von $V=8200~\text{cm}^3$ .
  Bestätige durch eine Rechnung, dass diese Wassermelone eine Kantenlänge von ca. $20{,}2~\text{cm}$ hat. (2 P)
  Abbildung 2: würfelförmige Wassermelone
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Würfel (Kubus)
  Kantenlänge berechnen
  $V_{\text{Würfel}}=a^3$
  $V_{\text{Würfel}}=8200$
  $a=\sqrt[3]{8200}=20{,}16\approx 20{,}2$
  Die Wassermelone hat eine Kantenlänge von etwa $20,2 c m$ .
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  Berechne die Kantenlänge anhand der Volumenformel eines Würfels.
4. Entscheide durch eine Rechnung, ob die kugelförmige oder die würfelförmige Wassermelone eine größere Oberfläche hat. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
  Oberfläche Kugel
  $O_{\text{Kugel}}=4\cdot \pi \cdot r^2$
  $O_{\text{Kugel}}=4\cdot3{,}14\cdot 12{,}5^2=1962{,}5$
  Oberfläche Würfel
  $O_{\text{Würfel}}=a^2\cdot 6$
  $O_{\text{Würfel}}=6\cdot 20{,}2^2=2448{,}24$
  Vergleiche
  $2448,24 > 1962,5$
  Bei gleichem Volumen hat die würfelförmige Wassermelone eine größere Oberfläche als die kugelförmige Wassermelone.
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  Berechne die Oberflächen von Kugel und Würfel.
  Vergleiche diese miteinander.
5. Wassermelonen verdoppeln ihr Gewicht pro Woche unter idealen Wachstumsbedingungen. Sinja überlegt, wie sich das Gewicht einer $400 \mathrm{~g}$ schweren Wassermelone unter idealen Bedingungen voraussichtlich entwickelt. Sie erstellt dazu eine Tabelle. (2 P)
  Berechne das Gewicht der Wassermelone nach 4 Wochen.
  
  Gewicht nach 4 Wochen
  $(1600\cdot 2)\cdot 2=6400$
  Nach 4 Wochen wiegt die Wassermelone $6400$ g.
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  Verdopple den Wert des Gewichts für jede Woche.
6. Sinja behauptet: „Der Graph in Abbildung 3 beschreibt das Wachstum dieser Wassermelone.“
  Hat Sinja recht? Begründe deine Entscheidung. (3 P)
  Abbildung 3: Graph zum Wachstum der Wassermelone
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wachstumsprozesse - eine Übersicht
  Begründung
  Der Graph in der Abbildung 3 stellt ein lineares Wachstum dar, d.h. die Zunahme pro Zeitschritt ist immer gleich. Das Gewicht der Wassermelone verdoppelt sich jedoch pro Zeitschritt.
  Sinja hat nicht recht.
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  Untersuche, ob sich im Graph das Gewicht in gleichen Zeitabständen verdoppelt.

Aufgabe 3: Parabel und Rechteck

Julia zeichnet mithilfe einer Geometriesoftware die Parabel $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=-0{,}5 x^{2}+5{,}5$ in ein Koordinatensystem (Abbildung 1).

Abbildung 1: Parabel und Rechteck — Abbildung 1: Parabel $f$ und Rechteck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

Bestätige durch eine Rechnung, dass der Punkt $A_{1} (3|1)$ auf der Parabel $f$ liegt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Nachweis
$f(x)=-0{,}5 x^{2}+5{,}5$
Setzte $x = 3$ in die Funktionsgleichung ein:
$f(3)=-0{,}5\cdot 3^2+5{,}5$
$f (3) = - 4,5 + 5,5$
$f (3) = 1$
Der Punkt $A_{1} = (3 ∣ 1)$ liegt auf der Parabel.
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Setze die x-Koordinate des Punktes $A_{1}$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob sich aus der Rechnung der richtige y-Wert ergibt.
Begründe mit den Eigenschaften dieser Parabel, dass der Punkt $B_{1}(-3 \mid 1)$ ebenfalls auf dem Graphen von $f$ liegt. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Begründung
Die Parabel ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Spiegelt man den Punkt $A_{1} (3 ∣ 1)$ an der $y$ -Achse, so erhält man den Punkt $B_{1} (- 3 ∣ 1)$ . Dieser liegt also ebenfalls auf dem Graphen von $f$ .
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Begründe mithilfe der Symmetrie der Parabel.
Die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$ liegen auf der $x$ -Achse und bilden mit den Punkten $A_{1}$ und $B_{1}$ das Rechteck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .
Berechne den Umfang dieses Rechtecks. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Seitenlängen des Rechtecks
$U_{\text{Rechteck}}=2\cdot a+2\cdot b$
$a = 3 + 3 = 6$
$b = 1$
Umfang des Rechtecks
$U_{\text{Rechteck}}=2\cdot a+2\cdot b$
$U_{\text{Rechteck}}=12+2=14$
Der Umfang des Rechtecks beträgt $14 c m$ .
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Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks.
Berechne den Umfang des Rechtecks.
Ausgehend von anderen Punkten auf der Parabel $f$ kann man auf die gleiche Art weitere Rechtecke zeichnen.
(1) Zeichne den Punkt $A_{2}(1 \mid 5)$ in Abbildung 1 ein. (1 P)
(2) Ergänze die drei weiteren Punkte $B_{2}, C_{2}$ und $D_{2}$ und verbinde die vier Punkte zu dem Rechteck $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Koordinatensystem
Skizze
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Mit dem Term $\text { (I) }$ kann man den Umfang für jedes dieser Rechtecke berechnen

$\text { (I) } 2 \cdot 2 x+2 \cdot\left(-0{,}5 x^{2}+5{,}5\right) \text {. }$

Dabei ist $x > 0$ und steht für die $x$ -Koordinate des zum Rechteck gehörenden Punktes $A_{1}, A_{2}$ usw.

Berechne mit dem Term $\text { (I) }$ den Umfang des Rechtecks, das durch den Punkt $A_2(1 \mid 5)$ festgelegt ist. (2 P)

Julia vereinfacht den Term $\text { (I) }$ zu $\text { (II) }$ $-x^{2}+4 x+11$
Zeige durch Termumformungen, dass die beiden Terme $\text { (I) }$ und $\text { (II) }$ gleichwertig sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen mit Klammern
Termumformung
$2 \cdot 2 x+2 \cdot\left(-0{,}5 x^{2}+5{,}5\right)$
$= 4 x - x^{2} + 11$
$= - x^{2} + 4 x + 11$
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Löse die Klammer auf.
Sortiere nach den Exponenten.

Julia stellt die folgende Gleichung auf:

$-x^{2}+4 x+11=14{,}75$

(1) Löse die Gleichung. (3 P)

(2) Erkläre das Ergebnis in Bezug auf die Rechtecke unter der Parabel $f$ . (1 P)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle P$	$=$	$\displaystyle G\cdot p$
	$=$	$\displaystyle 10000\cdot2{,}98\%$
	$=$	$\displaystyle 10000\cdot0{,}0298$
	$=$	$\displaystyle 298$

$\displaystyle U_{\text{Rechteck}}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot2x+2\cdot\left(-0{,}5x^2+5{,}5\right)$
	↓	Einsetzen der x-Koordinate
	$=$	$\displaystyle 2\cdot2\cdot1+2\cdot\left(-0{,}5\cdot1^2+5{,}5\right)$
	$=$	$\displaystyle 4+2\cdot\left(-0{,}5+5{,}5\right)$
	$=$	$\displaystyle 4+2\cdot5$
	$=$	$\displaystyle 14$

$\displaystyle -x^2+4x+11$	$=$	$\displaystyle 14{,}75$	$\displaystyle -14{,}75$
$\displaystyle -x^2+4x-3{,}75$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle x^2-4x+3{,}75$	$=$	$\displaystyle 0$

Prüfungsteil 2 2022

Aufgabe 1: Rösti

Gesamtmasse des Rezepts

Anzahl Röstis

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Berechnung für einen Kubikzentimeter

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Volumen Minirösti

Volumen des Zylinders mit halbem Durchmesser

Vergleiche die Werte

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Beschriftetes Baumdiagramm

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Berechnung mit der 1. Pfadregel (Produktregel)

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Prozentsatz bestimmen

Prozentwert berechnen

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Aufgabe 2: Wassermelonen

Volumen berechnen

VKugel=43⋅π⋅r3V_{\text{Kugel}} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3VKugel​=34​⋅π⋅r3

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Volumen des Fruchtfleisches

Prozentualer Anteil des Fruchtfleisches an der Wassermelone

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Kantenlänge berechnen

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Oberfläche Kugel

Oberfläche Würfel

Vergleiche

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Gewicht nach 4 Wochen

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Begründung

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Aufgabe 3: Parabel und Rechteck

Nachweis

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Begründung

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Seitenlängen des Rechtecks

Umfang des Rechtecks

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Skizze

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Berechnung

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Termumformung

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Umformung der Gleichung

Lösung der Gleichung mit der Mitternachtsformel

Erklärung des Ergebnisses

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$V_{\text{Kugel}} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$