Wende Merles Trick auf die Addition der Zahlen von 1 bis 6 an, indem du Abbildung 2 vervollständigst. (2 P)

Merle verwendet den Trick für aufwendigere Additionen. Damit die Rechnungen übersichtlich bleiben, ersetzt sie fehlende Summanden durch Pünktchen. In Abbildung 3 ist Merles Berechnung für die Summe der Zahlen von 1 bis 30 dargestellt.

Begründe, dass in den Kästchen die Zahlen 15 bzw. 31 stehen müssen. (2 P)

Merle findet einen allgemeinen Term, um die Summe der Zahlen von 1 bis $nn$ zu berechnen.

Sie notiert $\frac{1}{2}n\cdot (n+1)\backslash frac\{1\}\{2\}\; n\; \backslash cdot(n+1)$.

(1) Berechne mit dem Term den Wert der Summe für $n=40n=40$. (2 P)

(2) Erläutere die Bedeutung der Faktoren $\frac{1}{2}n\backslash frac\{1\}\{2\}\; n$ und $(n+1)(n+1)$ im Zusammenhang mit dem Rechentrick. (2 P)

Merle formt den Term um und erhält $\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n\backslash frac\{1\}\{2\}\; n^\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\; n$.

Berechne den Wert der Summe für $n=100n=100$ mit diesem vereinfachten Term. (2 P)

(1) Berechne die beiden Lösungen der Gleichung $\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n=2080\backslash frac\{1\}\{2\}\; n^\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\; n=2080$. (4 P)

(2) Erkläre, warum nur eine Lösung für den Kontext sinnvoll ist. (2 P)

„Bei meinem Rechentrick muss man die Summanden paarweise zusammenfassen. Daher nehme ich an, dass meine Formel für ungerade Zahlen nicht gilt“, meint Merle.

Für ungerade Zahlen n entwickeln Merle und ihr Freund Silas den Term $\frac{1}{2}(n-1)\cdot n+n\backslash frac\{1\}\{2\}(n-1)\; \backslash cdot\; n+n$.

Silas behauptet: „Es ist egal, welchen Term wir nehmen, da die Terme $\frac{1}{2}(n-1)\cdot n+n\backslash frac\{1\}\{2\}(n-1)\; \backslash cdot\; n+n$ und $\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n\backslash frac\{1\}\{2\}\; n^\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\; n$ gleichwertig sind."

Zeige durch Termumformungen, dass Silas Behauptung stimmt. (3 P)