Prüfungsteil 2 2023

Aufgabe 1: Herzlich willkommen

Eine Firma produziert herzförmige Dekoanhänger aus Metall. Jedes Herz besteht aus einem Quadrat mit der Kantenlänge $6 \mathrm{~cm}$ , an das zwei Halbkreise mit einem Radius von jeweils $3 \mathrm{~cm}$ angesetzt sind (Abbildung).

Abbildung: geometrische Form eines Herzens

Zeichne ein Herz in Originalgröße in dein Heft. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Schritt 1: Zeichne das Quadrat
Zeichne zuerst die senkrechte Linie.
Berechne dazu die Länge der Strecke zwischen oberer und unterer Ecke.
Hierfür verwenden wir den Satz des Pythagoras:
$\displaystyle x^2=6^2+6^2\\x=\sqrt{72}\\x=\color{red}8{,}5$
Der Mittelpunkt der Strecke liegt bei $8{,}5:2=\color{green}4{,}25~\text{cm}$ .
Zeichne die waagerechte Linie mit $4{,}25~\text{cm}$ in jede Richtung.
Zuletzt verbinden wir die Eckpunkte und erhalten so unser Quadrat mit einer Seitenlänge von $6~\text{cm}$ .
Schritt 2: Ergänze die beiden Halbkreise
Setze hierfür in den Mittelpunkt der beiden oberen Seiten deinen Zirkel mit dem Radius $3~\text{cm}$ an und zeichne jeweils einen Halbkreis.
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Zeichne erst das Quadrat. Berechne hierfür die Diagonale mit dem Satz des Pythagoras.
Ergänze die beiden Halbkreise an den oberen Seiten.
Bestätige rechnerisch, dass ein Herz einen Flächeninhalt von ca. $64{,}3\mathrm{~cm}^2$ hat. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Berechnung der Gesamtfläche
$\color{red}A_{Quadrat}\color{black}=6\cdot6 = 36$
$\color{green}A_{Halbkreis}\color{black}= \dfrac{1}{2}\cdot \pi\cdot 3$ $^2=14{,}14$
$A_{Gesamt}=\color{red}A_{Quadrat}\color{black}+2\cdot \color{green}A_{Halbkreis}\color{black}=36+2\cdot 14{,}14=64{,}3$
Das Herz hat also eine Gesamtfläche von $\color{blue}64{,}3~\text{cm}^2$ .
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Berechne die einzelnen Teilflächeninhalte (Quadrat und zwei Halbkreise)
Berechne nun den Gesamtflächeninhalt
Die Herzen werden aus dünnen Metallblechen hergestellt. $1 \mathrm{dm}^{2}$ des Metallblechs wiegt $117 \mathrm{~g}$ .
Berechne das Gewicht eines Herzens. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Wir wissen, dass $1~\text{dm}^2$ $117~\text{g}$ wiegt.
Wir müssen also den Flächeninhalt zunächst in $d m^{2}$ umrechnen:
$64{,}3 cm^2 = 0{,}64 dm^2$
Daher gilt:

$\text{Gesamtgewicht}=117\cdot \color{Blue}0{,}64\color{black}=74{,}88$
Ein Herz wiegt also $74,88 g$
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Du kennst das Gewicht für $1~\text{dm}^2$ .
Berechne mithilfe der Gesamtfläche das gesamte Gewicht eines Herzens.
Um die Breite $b$ eines Herzens zu bestimmen, wird eine Skizze angefertigt (Abbildung). Hier gilt: Die Strecke $\overline{A B}$ entspricht der Breite $b . ~\overline{A B}$ geht durch die Mittelpunkte $M_{1}$ und $M_{2}$ der angesetzten Halbkreise.
Zeige durch eine Rechnung, dass die Strecke $\overline{M_1M_2}$ eine Länge von etwa $4{,}24 \mathrm{~cm}$ hat. (3 P)
Skizze zur Berechnung der Breite $b$ und der Höhe $h$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Uns fällt auf, dass es sich bei $\bigtriangleup M_1M_2C$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Auch hier kennen wir bereits die Strecken $\overline{CM_1}$ und $\overline{M_2C}$ . Es handelt sich wieder um den Radius.
Betrachtet man das Dreieck, handelt es sich bei $\overline{M_1M_2}$ und die Hypotenuse.
Nach Satz des Pythagoras gilt:
$\color{red}\overline{M_1M_2}$ $^2 = \overline{CM_1}$ $^2+\overline{M_2C}$ $^{2}$
$\color{red}\overline{M_1M_2}$ $^{2} = 3^{2} + 3^{2}$
$\color{red}\overline{M_1M_2} \color{black}= \sqrt{18}$
$\color{red}\overline{M_1M_2}\color{black}\approx4{,}24$
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Bei $\bigtriangleup M_1M_2C$ handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.
Wende den Satz des Pythagoras an.
Berechne die Breite $b$ eines Herzens. (2 P)
cm
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Formel für die Breite $b$
$b$ = $\overline{AM_1} + \overline{M_1M_2} + \overline{M_2B}$
$\overline{AM_1}$ und $\overline{M_2B}$ kennen wir bereits: Es handelt sich dabei um den Radius der Halbkreise.
Gesamte Breite b
Wir setzten unsere Ergebnisse jetzt einfach in unsere Formel aus dem ersten Schritt und erhalten:
$b = 3 + 3 + 4,24 = 10,24$
Das Herz hat also eine Breite von $10{,}24 ~\text{cm}$ .
Skizze Dreieck
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Skizziere dir die Breite.
Untersuche, aus welchen Teilstrecken sie besteht.
Addiere nun alle Längen, die für die Breite des Herzes nötig sind.

Die Herzen werden in den Farben rot und weiß produziert und farblich gemischt in Kartons verpackt. Beim Fabrikverkauf werden die Herzen angeboten. Die Kunden dürfen ohne hinzusehen nacheinander zwei Herzen aus dem Karton ziehen. Zu diesem Zufallsversuch gehört das folgende Baumdiagramm.

In einem Karton sind 15 Herzen rot, die restlichen Herzen sind weiß.

Begründe, dass sich in dem Karton insgesamt 20 Herzen befinden. (2 P)

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Herzen gezogen werden.

(1) Ergänze im Baumdiagramm die dafür notwendigen Wahrscheinlichkeiten. (2 P)

(2) Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit. (2 P)

2

Aufgabe 2: Varroa-Milbe

Die Varroa-Milbe ist ein Schädling, der in jedem Bienenvolk lebt. Die Schülerinnen und Schüler der Bienen-AG untersuchen die Milbe mit einem Mikroskop.

Abbildung 1: Varroa-Milbe (vergrößert) Quelle: https://www.mikroskopieforum.de/index.php?topic=16864.0 (verändert)

Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Berechne die Länge und Breite der Milbe durch Messen der Pfeillängen und Anwenden des Maßstabs (Abbildung 1). (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Pfeillängen
Miss die Pfeillängen, die die Länge und Breite der Milbe in der Zeichnung markieren:
Länge (Zeichnung): $63~\text{mm}$
Breite (Zeichnung): $48~\text{mm}$
Maßstab
Bestimme den Maßstab, in dem du misst, wie viel mm die angegebenen 0,5 mm in der Zeichnung entsprechen.
$0{,}5~\text{mm (in echt)}~\hat{=}~15~\text{mm (in der Zeichnung)}$
Umrechnung
Rechne die Pfeillängen mithilfe des Maßstabs um.
Länge (Zeichnung): $63~\text{mm}:15\cdot 0{,}5~\hat{=}~2{,}1~\text{mm}$ (in echt)
Breite (Zeichnung): $48~\text{mm}:15\cdot 0{,}5~\hat{=}~1{,}6~\text{mm}$ (in echt)
$\rightarrow$ Die Milbe hat eine Länge von $2{,}1~\text{mm}$ und eine Breite von $1{,}6~\text{mm}$ .
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Bestimme die Pfeillängen, die die Länge und die Breite der Milbe in der Zeichnung markieren.
Bestimme den Maßstab: Wieviel mm entsprechen die angegebenen $0,5$ mm in der Zeichnung?
(Für diese beiden Schritte kannst du das GeoGebra Applet nutzen.)
Rechne die Pfeillängen mithilfe des Maßstabs um.
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Im Frühjahr ermitteln sie die Anzahl der Milben im Bienenvolk.
Im Internet finden sie die Faustregel, dass sich die Anzahl der Milben alle vier Wochen etwa verdoppelt. Sie kalkulieren die voraussichtliche Anzahl der Milben für die kommenden vier und acht Wochen. Die Werte halten sie in einer Tabelle fest.
Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Tabelle vervollständigen
Die Anzahl der Milben verdoppelt sich alle 4 Wochen. Nach 4 Wochen ist die Anzahl der Milben das doppelte des Ausgangswertes, also: $\mathrm{308 \cdot 2=616 \ Milben}$
Die Anzahl Milben nach 8 Wochen ist doppelt so groß, wie die Anzahl nach 4 Wochen. Der Wert nach 8 Wochen ist somit: $\mathrm{616\cdot2=1232 \ Milben}$
Trage die Werte in die Tabelle ein.
Wert 1
Wert 2
Wert 3
Zeit in Wochen
0
4
8
Anzahl der Milben
308
616
1232
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Berechne zunächst die Anzahl Milben nach 4 Wochen.
Nutze die Anzahl Milben nach 4 Wochen, um die Anzahl nach 8 Wochen zu berechnen.
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Um die Entwicklung der Milben pro Woche vorauszusagen, beschreiben sie die Anzahl der Milben mit der folgenden Exponentialfunktion $f$ :
$f(x)=308 \cdot 1{,}19^{x} \quad x \text { ist die Zeit in Wochen, } x=0 \text { ist der Beobachtungsbeginn }$
Gib die Bedeutung der Werte 308 und 1,19 im Zusammenhang an. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Bedeutung im Sachzusammenhang
Den Wert $308$ nimmt die Funktion zum Zeitpunkt $x = 0$ an, er ist also der Anfangswert.
Der Wert $1,19$ ist der Wachstumsfaktor. Er ist der Faktor, um den sich die Zahl der Milben innerhalb einer Woche vermehrt.
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Untersuche den Funktionsterm:
Der Faktor $308$ hat eine Bedeutung für den Beobachtungsbeginn $x = 0$ .
Die Basis $1,19$ haben mit der Entwicklung zu tun.
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Bestätige mithilfe der Funktionsgleichung, dass nach 12 Wochen ca. 2500 Milben vorhanden sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Anzahl der Milben nach 12 Wochen
Da in der Funktionsgleichung das x für die Anzahl an Wochen steht, musst du für das x die 12 einsetzen und erhältst:
$\displaystyle \mathrm{f(12)=308\cdot1{,}19^{12}\approx2484}~\text{Milben}$
Nach 12 Wochen sind somit etwa 2482 Milben vorhanden, also fast 2500.
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Setze die gegebene Wochenzahl in die Funktionsgleichung ein.
Vergleiche dein Ergebnis mit dem gegebenen Wert.

	Wert 1	Wert 2	Wert 3
Zeit in Wochen	0	4	8
Anzahl der Milben	308	616	1232

Bei einer Anzahl von ca. 10000 Milben würde das Bienenvolk so großen Schaden nehmen, dass es nicht überleben kann.

Bestimme, nach wie vielen Wochen die Anzahl von 10000 Milben überschritten wird. (3 P)

Damit das Bienenvolk überlebt, wird nach 12 Wochen Ameisensäure eingesetzt. Dadurch wird die Anzahl von ca. 2500 Milben einmalig um $90 %$ reduziert.

Weise nach, dass durch die Behandlung mit der Ameisensäure die Anzahl von 10000 Milben 21 Wochen nach Beobachtungsbeginn nicht überschritten wird. (3 P)

3

Aufgabe 3: Zahlenpaare

Merle hat Spaß an Zahlen und ist immer auf der Suche nach Tricks, um den Rechenaufwand einer Aufgabe zu verringern. Bei der Addition der Zahlen von 1 bis 10 bemerkt sie:

„Die beiden Zahlen 1 und 10 ergeben zusammen 11, ebenso wie die beiden Zahlen 2 und 9, die Zahlen 3 und 8 usw. Da ich so fünf Zahlenpaare jeweils mit dem Wert 11 bilden kann, muss ich nur $5 \cdot 11$ rechnen und erhalte das Ergebnis 55.“ (Abbildung 1)

Abbildung 1: Rechentrick für die Addition der Zahlen von 1 bis 10

Wende Merles Trick auf die Addition der Zahlen von 1 bis 6 an, indem du Abbildung 2 vervollständigst. (2 P)
Abbildung 2: Addition der Zahlen von 1 bis 6
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Ermittle, wie viele Zahlenpaare den gleichen Wert ergeben.
Multipliziere mit dem Wert jedes Zahlenpaares
Merle verwendet den Trick für aufwendigere Additionen. Damit die Rechnungen übersichtlich bleiben, ersetzt sie fehlende Summanden durch Pünktchen. In Abbildung 3 ist Merles Berechnung für die Summe der Zahlen von 1 bis 30 dargestellt.
Abbildung 3: Addition der Zahlen von 1 bis 30
Begründe, dass in den Kästchen die Zahlen 15 bzw. 31 stehen müssen. (2 P)
Begründung
Die Anzahl der Zahlen, die addiert werden, beträgt 30. Dieser Wert wird durch 2 dividiert:
$\displaystyle 30 : 2 = \boxed{15}$
Es gibt also $15$ Zahlenpaare. An der ersten Stelle muss deshalb $\boxed{15}$ eingesetzt werden.
Ermittlung des Werts des ersten Zahlenpaares.
$\displaystyle 1 + 30 = \boxed{31}$
Der Wert jedes Zahlenpaares ist also $31$ . An der zweiten Stelle muss deshalb $\boxed{31}$ eingesetzt werden.
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Ermittle, wie viele Zahlen addiert werden sollen und wie viele Zahlenpaare den gleichen Wert ergeben.
Die Anzahl der Zahlenpaare teilst du durch 2.
Bilde die Summe der Zahlenpaare.

Merle findet einen allgemeinen Term, um die Summe der Zahlen von 1 bis $n$ zu berechnen.

Sie notiert $\frac{1}{2} n \cdot(n+1)$ .

(1) Berechne mit dem Term den Wert der Summe für $n = 40$ . (2 P)

(2) Erläutere die Bedeutung der Faktoren $\frac{1}{2} n$ und $(n + 1)$ im Zusammenhang mit dem Rechentrick. (2 P)

Merle formt den Term um und erhält $\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{2} n$ .

Berechne den Wert der Summe für $n = 100$ mit diesem vereinfachten Term. (2 P)

(1) Berechne die beiden Lösungen der Gleichung $\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{2} n=2080$ . (4 P)

(2) Erkläre, warum nur eine Lösung für den Kontext sinnvoll ist. (2 P)

„Bei meinem Rechentrick muss man die Summanden paarweise zusammenfassen. Daher nehme ich an, dass meine Formel für ungerade Zahlen nicht gilt“, meint Merle.

Für ungerade Zahlen n entwickeln Merle und ihr Freund Silas den Term $\frac{1}{2}(n-1) \cdot n+n$ .

Silas behauptet: „Es ist egal, welchen Term wir nehmen, da die Terme $\frac{1}{2}(n-1) \cdot n+n$ und $\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{2} n$ gleichwertig sind."

Zeige durch Termumformungen, dass Silas Behauptung stimmt. (3 P)

$\displaystyle \color{darkorange}15\ \text{Herzen}$	$≘$	$\displaystyle \color{blue}75\ \%$	$\displaystyle :15$
$\displaystyle 1\ \text{Herz}$	$=$	$\displaystyle 5\ \%$	$\displaystyle \cdot20$
$\displaystyle 20\ \text{Herzen}$	$=$	$\displaystyle \color{green}100\ \%$

$\displaystyle p(\text{verschiedenfarbige Herzen})$	$=$	$\displaystyle p(\text{rot,weiß})+p(\text{weiß,rot})$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{19}+\frac{1}{4}\cdot\frac{15}{19}$
	$=$	$\displaystyle \frac{15}{38}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 308\cdot1{,}19^x$
	↓	Setze die Anzahl der Milben (10000) für den Funktionswert ein.
$\displaystyle 10000$	$=$	$\displaystyle 308\cdot1{,}19^x$	$\displaystyle :308$
$\displaystyle \frac{10000}{308}$	$=$	$\displaystyle 1{,}19^x$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{1{,}19}\left(\frac{10000}{308}\right)$
$\displaystyle x$	$\approx ≈$	$\displaystyle 20{,}00675$

$\displaystyle 2500\ Milben$	$≘$	$\displaystyle 100\%$
$\displaystyle 25\ Milben$	$≘$	$\displaystyle 1\%$
$\displaystyle 250\ Milben$	$≘$	$\displaystyle 10\%$

	$\displaystyle \frac{1}{2}n\cdot(n+1)$
	↓ Einsetzen von 40 für $n$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (40 + 1)$
$=$	$\displaystyle 40 \cdot 41 : 2$
$=$	$\displaystyle 820$

	$\displaystyle \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n$
	↓ Einsetzen von $n = 100$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 100^2 + \frac{1}{2} \cdot 100$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 10000 + \frac{1}{2} \cdot 100$
$=$	$\displaystyle 5000 + 50$
$=$	$\displaystyle 5050$

$\displaystyle \frac{1}{2}n^2 +\frac{1}{2}n$	$=$	$\displaystyle 2080$	$\displaystyle -2080$
$\displaystyle \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n - 2080$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle n^2 + n - 4160$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Anwendung der pq-Formel
$\displaystyle n_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 4160}$
$\displaystyle n_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 \pm \sqrt{4160{,}25}$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Wurzel berechnen
$\displaystyle n_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 \pm 64{,}5$
$\displaystyle n_1$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 + 64{,}5$
$\displaystyle n_1$	$=$	$\displaystyle 64$
$\displaystyle n_2$	$=$	$\displaystyle -0{,}5 - 64{,}5$
$\displaystyle n_2$	$=$	$\displaystyle -65$

	$\displaystyle \frac{1}{2}(n-1)\cdot n+n$
	↓ Klammer auflösen
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n+n$
$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n$

Prüfungsteil 2 2023

Aufgabe 1: Herzlich willkommen

Schritt 1: Zeichne das Quadrat

Schritt 2: Ergänze die beiden Halbkreise

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Berechnung der Gesamtfläche

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Formel für die Breite bbb

Gesamte Breite b

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Wir wissen...

Dreisatz anwenden

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Wir zeichnen zunächst das Baumdiagramm:

Nun berechnen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

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Aufgabe 2: Varroa-Milbe

Pfeillängen

Maßstab

Umrechnung

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Tabelle vervollständigen

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Bedeutung im Sachzusammenhang

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Anzahl der Milben nach 12 Wochen

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Anzahl der Milben nach der Behandlung mit Ameisensäure

Aufstellen der Funktionsgleichung

Berechnen der Milbenanzahl

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Aufgabe 3: Zahlenpaare

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Begründung

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Berechnung mit n=40n=40n=40

Erläuterung der Faktoren

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Term verwenden und n=100n=100n=100 einsetzen

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Lösung berechnen

Erklärung

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Term umformen

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Formel für die Breite $b$

Berechnung mit $n = 40$

Term verwenden und $n = 100$ einsetzen