Lösung

Bestimmen Sie die zu erwartende Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen

Berechne $\mu$ und $\sigma$:

Es ist $n=800$ und $p=0{,}96\;\Rightarrow\;\mu=n\cdot p=800\cdot 0{,}96=768$.

Die zu erwartende Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen, beträgt $768$.

Ermitteln Sie ein $95\;\%$-Prognoseintervall für die Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen

Berechne $[\mu-c\cdot\sigma;\mu+c\cdot\sigma]$.

Zu einem $95\;\%$-Prognoseintervall gehört $c=1{,}96$.

Für die linke Grenze gilt:

$768 -1{,}96\cdot\sqrt{800\cdot 0{,}96\cdot0{,}04}\approx 757{,}1$

Für die rechte Grenze gilt:

$768+1{,}96\cdot\sqrt{800\cdot 0{,}96\cdot0{,}04}\approx 778{,}9$

Mit entsprechender Rundung lautet das $95\;\%$-Prognoseintervall [757; 779].

Lösung

Geben Sie das Ereignis an

Dem Term entnimmt man, dass $p=0{,}04$ ist. Das ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu $0{,}96$, d.h. $p=0{,}04$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Säcke den Qualitätsanforderungen nicht entsprechen.

Die Zahl $32$ sagt dann, dass $32$ Säcke den Qualitätsanforderungen nicht entsprechen.

Das Ereignis würde z.B. so lauten: $32$ der $800$ Säcke entsprechen nicht den Qualitätsanforderungen.

Lösung

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Vertrag abgeschlossen wird

1. Schritt:

Es ist $n=50$.

Höchstens zwei Säcke dürfen den Qualitätsanforderungen nicht entsprechen, dann wird der Vertrag abgeschlossen.$\;\Rightarrow\;p=0{,}04$

$P(X\leq2)=\text{binomCdf}(50{,}0.04{,}0,2)\approx0{,}6767$

2. Schritt:

Wenn genau drei Säcke nicht den Qualitätsanforderungen entsprechen:

Es ist $n=50$.

$P(X=3)=\text{binomPdf}(50{,}0.04{,}3)\approx0{,}1842$

Dann werden in einem zweiten Schritt weitere $25$ zufällig ausgewählte Säcke daraufhin untersucht, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen. Wenn von diesen $25$ Säcken höchstens ein Sack nicht den Qualitätsanforderungen entspricht, dann wird der Vertrag abgeschlossen:

Es ist $n=25$.

$P(X\leq1)=\text{binomPdf}(25{,}0.04{,}0,1)\approx0{,}7358$

Dann folgt für die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein Vertrag abgeschlossen wird:

$P=0{,}6767+0{,}1842\cdot 0{,}7358\approx0{,}8122$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $81 \;\%$ wird der Vertrag abgeschlossen.

Lösung

Ergänzen Sie die Wahrscheinlichkeiten in den Feldern in der unteren Hälfte des Baumdiagramms

Das ausgefüllte Baumdiagramm sieht folgendermaßen aus:

Erläuterung:

"Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Sack den Mangel $M_{1}$ aufweist, beträgt $1 \%$." Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{M_1})=1-0{,}01=0{,}99$.

"Weiterhin entsprechen $96 \%$ aller Säcke den Qualitätsanforderungen", d.h. die Säcke weisen weder Mangel $1$ noch Mangel $2$ auf.

$\Rightarrow\;P(\overline{M_1}\cap\overline{M_2})=0{,}96$

Die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{M_1}}(\overline{M_2})$ ist dann:

$P_{\overline{M_1}}(\overline{M_2})=\dfrac{0{,}96}{0{,}99}=\dfrac{32}{33}$

Für die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{M_1}}({M_2})$ folgt dann:

$P_{\overline{M_1}}({M_2})=1-\dfrac{32}{33}=\dfrac{1}{33}$

Schließlich ergibt sich $P(\overline{M_1}\cap{M_2})$ zu:

$P(\overline{M_1}\cap{M_2})=0{,}99\cdot \dfrac{1}{33}=0{,}03$

Damit sind alle offenen Felder ausgefüllt.

Lösung

Erläutern Sie im Sachkontext die Auswirkungen dieser Eigenschaft auf die Wahrscheinlichkeiten in der oberen Hälfte des Baumdiagramms

"Das Auftreten der beiden Mängel ist stochastisch unabhängig."

Das bedeutet: $P_{{M_1}}({M_2})=P_{\overline{M_1}}({M_2})$, bzw. $P_{{M_1}}(\overline{M_2})=P_{\overline{M_1}}(\overline{M_2})$

Mit anderen Worten:

Die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe des Baumdiagramms sind in der oberen Hälfte mit denen in der unteren Hälfte identisch.