Wahrscheinlichkeit der Pfade

Laut Aufgabenstellung ist $P(Z)=0{,}778$.

Addiere die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade, die zu $Z$ führen.

Bestimmung von $a$

Der zugehörige Wert von $a$ ist $0{,}76$.

Vergleiche im Baumdiagramm die entsprechenden Pfade, die zu $Z$ führen

$P(W\cap Z)=0{,}45 \cdot 0{,}8=0{,}36$ und $P(\overline{W}\cap Z)=0{,}55 \cdot a.$

Für $a=0{,}7$ folgt dann $P(\overline{W}\cap Z)=0{,}55 \cdot 0{,}7=0{,}385$.

Demnach ist $P(W\cap Z)=0{,}36 < P(\overline{W}\cap Z)=0{,}385$.

Für $a=0{,}7$ gibt somit weniger weibliche als nicht weibliche Personen, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren.

Wert für $a$ bei stochastischer Unabhängigkeit

Bei stochastischer Unabhängigkeit der beiden Größe $W$ und $Z$ muss $P_W(Z)$ gleich $P_{\overline{W}}( Z)$ sein, d.h. die Zufriedenheit ist unabhängig vom Geschlecht.

Aus der Aufgabenstellung folgt $P_W(Z)=0{,}8$ und $P_{\overline{W}}( Z)=a$.

Aus der Gleichheit folgt $a=0{,}8$.

Untersuchen der Wahrscheinlichkeit

Betrachte $P({W}\cap \overline{Z})=0{,}45\cdot 0{,}2=0{,}09$ und $P(\overline{W}\cap \overline{Z})=0{,}55\cdot (1-a).$

Wird der Wert von $a$ größer, dann wird $P(\overline{W}\cap \overline{Z})$ kleiner, d.h. der Anteil nicht weiblicher Teilnehmer wird kleiner.

Da aber der die Gesamtzahl der Unzufriedenen gleich bleibt, muss die Anzahl der unzufriedenen weiblichen Teilnehmer zunehmen.

Begründung

Sehr deutlich wird das für $a=1$, dann ist $P(\overline{W}\cap \overline{Z})=0$ und es gibt nur noch unter allen Unzufriedenen weibliche Teilnehmer.

Teil 1 - Wahrscheinlichkeit für "kein Strandkorb"

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem Spiel kein Strandkorb $(X=0)$ angezeigt wird.

Es ist $P(X=0)=1-(0{,}01+0{,}001+0{,}0001)=1-0{,}0111=0{,}9889$.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem Spiel kein Strandkorb angezeigt wird, beträgt $98{,}89\;\%$.

Teil 2 - Wert des Gutscheins

Bestimme für die Personen mit zwei Strandkörben den Wert des Gutscheins.

Der Erwartungswert des Gewinns pro Person beträgt $80$ Cent bzw. $0{,}80\ €$.

Der Gewinn für die Personen mit zwei Strandkörben wird mit $x$ bezeichnet.

Dann gilt für den Erwartungswert:

$E(X)=50\cdot 0{,}01+x\cdot 0{,}001+1000\cdot 0{,}0001=0{,}8$.

Die Gleichung wird nach $x$ aufgelöst.

Der Wert des Gutscheins beträgt $200\ €$.

Wert der Wahrscheinlichkeit

Es ist $n=80000$ und $p=0{,}001$. Dann ist $\mu_Y=n\cdot p=80000\cdot 0{,}001=80$.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P_{80000;0{,}001}(80-c\leq X\leq 80+c)\geq 0{,}8.$

Löse die Gleichung mit $\text{binomCdf}$.

Definiere $\text{bf(x)}=\text{binomCdf}(80000{,}0.001{,}80-x,80+x)$ und löse die Gleichung mit $\text{nSolve}$: $\text{nSolve}\left( bf(x)=0.8,x,0{,}80\right)=11$

Die Probe $\text{bf(11)}=0{,}8021459$ zeigt, dass für $c=11$ die Wahrscheinlichkeit

$P_{80000;0{,}001}(80-11\leq X\leq 80+11)=0{,}8021459> 0{,}8$ ist.

Der kleinst mögliche ganzzahlige Wert von $c$ ist $11$.

Wahrscheinlichkeit für den Gewinn eines Gutscheins

$p=0{,}01+0{,}001+0{,}0001=0{,}0111$.

Es ist $n=1200$ und $X=7$.

Konfidenzintervall

Für ein $99 \%$-Konfidenzintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ für den Gewinn eines Gutscheins gilt:

$\left|\dfrac{X}{n}-p\right|\leq2{,}58\cdot\dfrac{\sigma}{n}\;\Rightarrow\;\left|\dfrac{7}{1200}-p\right|\leq2{,}58\cdot\dfrac{\sigma}{1200}$

Demnach liegt die Wahrscheinlichkeit $p$ im Intervall:

$\dfrac{7}{1200}- 2{,}58\cdot\dfrac{\sigma}{1200}\leq p\leq\dfrac{7}{1200}+ 2{,}58\cdot\dfrac{\sigma}{1200}$

Aus dieser Ungleichung folgt:

$p-\dfrac{7}{1200}\leq2{,}58\cdot\dfrac{\sigma}{1200}=2{,}58\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{1200}}$

Damit folgt:

Die Randwerte der quadratischen Ungleichung für $p$ werden mithilfe des CAS bestimmt.

$\text{nSolve}\left(\left(p-\dfrac{7}{1200}\right)^2=2{,}58^2\cdot\dfrac{p\cdot(1-p)}{1200},p,0\right)$

Man erhält die beiden Werte $p_1=0{,}0022806$ und $p_2=0{,}0148381$.

Die Ungleichung ist für $p=0{,}0111$ erfüllt, da $0{,}0022806\leq 0{,}0111\leq0{,}0148381$ eine wahre Aussage ist. Die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn eines Gutscheins ist mit dem Ergebnis verträglich.