Wahlteil - CAS

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Aufgaben zur Abiturprüfung eA 2023, Wahlteil - CAS. Zum Download hier.

1
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 1A
Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau, der sich dann wieder vollständig auflöst. An einem bestimmten Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für $0 \leq x \leq 4$ mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=x \cdot(8-5 x) \cdot\left(1-\frac{x}{4}\right)^{2}$ beschrieben.
Dabei gibt $x$ die nach 06: 00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde $\left(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right)$ an.
1. Nennen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.
  Begründen Sie anhand der Struktur des Funktionsterms von $f$ , dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt. (5 BE)
2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.
  Zeigen Sie, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate etwa 2,2 $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ beträgt. (4 BE)
3. Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist.
  Begründen Sie Ihre Angabe. (4 BE)
4. Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x)=\left(\frac{x}{4}\right)^{2} \cdot(4-x)^{3}$ . $s$ ist eine Stammfunktion von $f$ .
  Der Stau entsteht um 06: 00 Uhr.
  Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:
  Für den Zeitraum von 06: 00 Uhr bis 10: 00 Uhr kann die Staulänge durch die Funktion s angegeben werden.
  Prüfen Sie, ob sich der Stau um 10: 00 Uhr vollständig aufgelöst hat. (5 BE)
5. Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von 06:00 Uhr bis 07:30 Uhr und geben Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge an. (5 BE)
6. Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_{k}$ mit $h_{k}(x)=(x-3)^{k}+1$ und $k \in \mathbb{N}, k>0$ .
  Ermitteln Sie die Koordinaten derjenigen Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. (4 BE)
7. Der Graph von $h_{5}$ und die Gerade durch die Punkte $P(3 \mid 1)$ und $Q(4 \mid 2)$ schließen zwei Flächenstücke ein.
  Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man diese beiden Flächenstücke um die $x$ -Achse rotieren lässt. (7 BE)
8. Beurteilen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage: (6 BE)
  Es gibt genau einen Wert von $k$ , für den der Graph von $h_{k}^{\prime}$ Tangente an den Graphen von $h_{k}$ ist.
2
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 1B
Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit
$f_{a}(x)=e^{x} \cdot(x-a)^{2}$ mit $a \in \mathbb{R}$ .
Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt.
1. Der Graph von $f_{1}$ hat in einem seiner Wendepunkte eine negative Steigung.
  Bestimmen Sie diesen Wendepunkt und diese Steigung. (6 BE)
2. Jeder Graph von $f_{a}$ hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt.
  Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an.
  Begründen Sie, dass der gemeinsame Punkt mit der $x$ -Achse der Tiefpunkt des Graphen von $f_{a}$ ist. (4 BE)
3. Für jeden Wert von $a$ mit $a \neq 0$ schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte des Graphen von $f_{a}$ mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
  Berechnen Sie denjenigen Wert von $a$ , für den dieses Dreieck gleichschenklig ist. (6 BE)
4. Für jeden Wert von $a$ gilt: $f_{a}(a)=0$ und $f_{a}^{\prime}(a)=0$ und $f_{a}^{\prime \prime}(a) \neq 0$
  Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Stammfunktionen zu $f_{a}$ an. (3 BE)
5. Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von $a$ die Graphen von $f_{a}^{\prime}$ und $f_{a}^{\prime \prime}$ .
  Entscheiden Sie, welcher der beiden Graphen I und II zu welcher Ableitungsfunktion gehört, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)
6. Abbildung 3
  Der Schalldruckpegel wird oft umgangssprachlich als Lautstärke bezeichnet. Bei einem bestimmten Weckton eines Weckers wird der Schalldruckpegel durch die Funktionen $h$ und $k$ beschrieben:
  $h(x)=20 \cdot \sin (x)$ für $0 \leq x \leq 2$
  $k(x)=20 \cdot \sin (x-2)+20 \cdot \sin (2)$
  für $2 \leq x \leq 4$
  Dabei ist $x$ die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden. $h(x)$ und $k(x)$ geben den Schalldruckpegel in Dezibel (db) an.
  Die Abbildung 3 zeigt die Graphen von $h$ und $k$ .
  Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat.
  (6 BE)
7. Dem Graphen von $h$ ist zu entnehmen, dass der Weckton in den ersten zwei Sekunden bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand.
  Berechnen Sie den größten dieser Abstände. (6 BE)
8. Berechnen Sie unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von $k$ : (6 BE)
  Der durchschnittliche Funktionswert von $k$ im Intervall $[a ; b]$ stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:
  Das Rechteck hat die Breite $b-a$ .
  Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für $a \leq x \leq b$ zwischen dem Graphen von $k$ und der $x$ -Achse liegt.
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Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 1C
Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Brücke.
Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400 \mathrm{~m}$ . Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn auf Fahrbahnhöhe verankert.
Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10 \mathrm{~m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die $x$ -Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die $y$ -Achse entlang der Symmetrieachse.
Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils durch die Funktion $r$ mit $r(x)=2{,}53 \cdot\left(e^{\frac{1}{11} \cdot(32-x)}-1\right)$ beschrieben.
1. Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640 \mathrm{~m}$ lang ist. (4 BE)
2. Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils durch einen Funktionsterm beschrieben werden.
  Geben Sie einen passenden Term $l(x)$ sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt. (3 BE)
3. Berechnen Sie die Länge eines Pfeilers oberhalb der Fahrbahn. (3 BE)
4. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem das rechte Abspannseil auf den rechten Pfeiler trifft. (4 BE)
5. In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Für eine Baumaßnahme wird zwischen Abspannseil und Fahrbahn eine Teilfläche des Flächenstücks mit einem Schutznetz verkleidet. Links wird die Teilfläche vom Pfeiler begrenzt und rechts endet sie mit einer vertikalen Begrenzung. Die Teilfläche soll halb so groß sein wie das gesamte Flächenstück.
  Bestimmen Sie den Abstand der vertikalen Begrenzung zum Pfeiler. (6 BE)
6. Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt betrachtet. Die 24 vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben von den Pfeilern und untereinander einen horizontalen Abstand von jeweils $16 \mathrm{~m}$ . Der Verlauf des Tragseils wird durch die Funktion s mit $s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256}$ beschrieben.
  Begründen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage: (2 BE)
  Im Term von s ist erkennbar, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist.
7. Geben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an:
  $[s(-20+1{,}6 \cdot 1)+s(-20+1{,}6 \cdot 2)+\cdots+s(-20+1{,}6 \cdot 24)] \cdot 10$
  Begründen Sie Ihre Angabe. (5 BE)
8. Punkt $Q$ ist der Punkt auf dem rechten Pfeiler, der auf der Höhe der Fahrbahn liegt. Berechnen Sie den Abstand von $Q$ zum Tragseil. (7 BE)
9. Die Punkte $A(-20 \mid s(-20)), C(0 \mid s(0))$ und $B(20 \mid s(20))$ werden in dieser Reihenfolge durch Strecken verbunden.
  Berechnen Sie die Summe der Streckenlängen und begründen Sie, dass die Länge des Tragseils größer ist als die Summe der Streckenlängen in der Realität. (6 BE)
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Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 2A
Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 0 bis 9 beschriftet.
1. Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht.
  Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ und $B$ . (5 BE)
  $A$ : „Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt.“
  $B$ : „Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt.“
2. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
  Untersuchen Sie, ob die Ereignisse $C$ und $D$ stochastisch unabhängig sind. (5 BE)
  $C$ : „Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als $4 .{ }^{\prime \prime}$
  $D$ : „Das Produkt der erzielten Zahlen ist 2 oder 3.“
3. Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jeder Spieler darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet er das Spiel selbst, bevor er eine „0“ erzielt, so wird ihm die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt er eine „ 0 “, so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.
  Bei einem Spieler beträgt nach mehrmaligem Drehen des Glücksrads die Summe der erzielten Zahlen 60. Er dreht das Glücksrad genau ein weiteres Mal.
  Berechnen Sie den Erwartungswert für den ausgezahlten Betrag. (3 BE)
  €
4. Der Spieler dreht das Glücksrad bis er eine „ 0 “ erzielt, aber höchstens $n$ -mal. Der Erwartungswert für die Auszahlung beträgt in diesem Fall $5 n \cdot 0{,}9^{n}$ .
  Beurteilen Sie die folgende Aussage: (4 BE)
  Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von n, für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen.
5. Betrachtet wird nun ein Glücksrad mit 10 nicht gleich großen Sektoren. Die Sektoren sind mit den Zahlen von 0 bis 9 beschriftet.
  Bei 80 Drehungen wird zwölfmal die „0“ erzielt. Auf dieser Grundlage wird zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95 \%$ ein Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung die "0“ zu erzielen, bestimmt.
  Begründen Sie, dass die obere Grenze des Konfidenzintervalls größer als 0,1 ist. (4 BE)
6. Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Drehungen, für die Folgendes gilt: (4 BE)
  Wenn man bei genau $15 \%$ der Drehungen die „0" erzielt, dann steht dies bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95 \%$ nicht in Einklang mit der Annahme, dass beim Drehen des Glücksrads die „0" mit einer Wahrscheinlichkeit von $10 \%$ erzielt wird.
5
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 2B
Für ein Land wird die Gruppe derjenigen Personen betrachtet, die im Jahr 2022 eine Urlaubsreise unternahmen.
Aus der betrachteten Gruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden die folgenden Ereignisse:
$W$ : „Die Person ist weiblich.“
$Z$ : „Die Person war mit ihrer Urlaubsreise zufrieden.“
Das nebenstehende Baumdiagramm veranschaulicht die Situation.
1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine ausgewählte Person mit ihrer Urlaubsreise zufrieden war, beträgt $77{,}8 \%$ .
  Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $a$ . (3 BE)
2. Weisen Sie nach, dass es in der betrachteten Gruppe für $a=0{,}7$ weniger weibliche als nicht weibliche Personen geben würde, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren.
  (2 BE)
3. Geben Sie denjenigen Wert von $a$ an, für den $W$ und $Z$ stochastisch unabhängig sind. Begründen Sie Ihre Angabe, ohne zu rechnen. (4 BE)
4. Die ausgewählte Person war mit ihrer Urlaubsreise nicht zufrieden.
  Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person weiblich ist, mit zunehmendem Wert von $a$ zunimmt. (3 BE)
5. Ein Reiseunternehmen führt ein Gewinnspiel durch. Jede Person kann nur einmal an dem Spiel teilnehmen. Als Ergebnis des Spiels wird eine bestimmte Anzahl von Strandkörben angezeigt. Diese Anzahl beträgt 0,1,2 oder 3. Im Folgenden sind die möglichen Gewinne beschrieben:
  Wird kein Strandkorb angezeigt, so gewinnt die Person nichts.
  Werden 1, 2 oder 3 Strandkörbe angezeigt, so gewinnt die Person einen Gutschein.
  Bei dem Spiel beträgt der Erwartungswert des Gewinns pro Person 80 Cent.
  Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem Spiel kein Strandkorb angezeigt wird.
  Bestimmen Sie für die Personen mit zwei Strandkörben den Wert des Gutscheins.
  (4 BE)
6. 80000 Personen nehmen an dem Spiel teil. Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben. Der Erwartungswert der Zufallsgröße $Y$ wird mit $\mu_{Y}$ bezeichnet.
  Ermitteln Sie den kleinsten möglichen ganzzahligen Wert von $c$ , für den die Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $80 \%$ im Intervall $\left[\mu_{Y}-c ; \mu_{Y}+c\right]$ liegt. (4 BE)
7. In der ersten Woche haben 1200 Personen an dem Spiel teilgenommen. Von diesen haben 7 Personen einen Gutschein gewonnen.
  Beurteilen Sie auf Grundlage einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $99 \%$ , ob die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn eines Gutscheins mit dem Ergebnis verträglich ist. (5 BE)
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Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 2C
Ein Unternehmen stellt Olivenöl her und füllt es in Flaschen ab. Laut Aufdruck beträgt die Füllmenge jeder Flasche $600 \mathrm{ml}$ .
Für jede Flasche beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie weniger als $600 \mathrm{ml}$ Öl enthält, $1{,}5\%$ . Die Anzahl der Flaschen mit weniger als $600 \mathrm{ml}$ Öl wird durch eine Binomialverteilung beschrieben. Die Flaschen werden in Kartons verpackt. Jeder Karton enthält zwölf Flaschen.
1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton weniger als zwei Flaschen mit weniger als $600 \mathrm{ml}$ Öl enthalten sind. (2 BE)
2. An einen Supermarkt wird regelmäßig die gleiche Anzahl von Flaschen geliefert. Dabei enthalten im Mittel mehr als 780 Flaschen mindestens $600 \mathrm{ml}$ Öl. Ermitteln Sie, wie viele Flaschen mindestens geliefert werden. (4 BE)
3. Ein Karton gilt als fehlerhaft, wenn mehr als eine Flasche weniger als $600 \mathrm{ml}$ Öl enthält.
  Ein Supermarkt erhält eine Lieferung von 150 Kartons.
  Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3 \%$ der Kartons fehlerhaft sind. (4 BE)
4. Die Füllmenge der Flaschen ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von $600{,}5 \mathrm{ml}$ und einer Standardabweichung von $0{,}23 \mathrm{ml}$ .
  Eine Flasche wird zufällig ausgewählt.
  Ermitteln Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit: (4 BE)
  $A$ : „Die Flasche enthält mehr als $601 \mathrm{ml}$ Öl.“
  $B$ : „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5 \mathrm{ml}$ vom Erwartungswert ab.“
5. Das Unternehmen möchte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als $600 \mathrm{ml}$ Öl enthält, verringern. Für die nötige Änderung der Maschine, die die Flaschen befüllt, gibt es zwei Vorschläge:
  Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von 600,5 ml wird erhöht.
  Vorschlag 2: Die Genauigkeit, mit der die eingestellte Füllmenge von 600,5 ml erreicht wird, wird erhöht.
  Beide Abbildungen zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, die vor der Änderung der Maschine die Füllmenge der Flaschen beschreibt.
  Skizzieren Sie in der Abbildung 1 den Graphen einer Dichtefunktion, die zu Vorschlag 1 passt und in der Abbildung 2 den Graphen einer Dichtefunktion, die zum Vorschlag 2 passt.
  Begründen Sie für Vorschlag 1, dass damit das Ziel des Unternehmens erreicht wird.
  (7 BE)
6. Bestimmen Sie die größtmögliche Standardabweichung mit einer Genauigkeit von drei Nachkommastellen, für die gilt: (4 BE)
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als $600 \mathrm{ml}$ Öl enthält, ist höchstens halb so groß.
7
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 3A
Auf einem ebenen, horizontalen Gelände steht ein $15 \mathrm{~m}$ hoher Mast, an dem drei rechteckige Werbeflächen befestigt sind. In der Abbildung 1 ist eine der Werbeflächen grau dargestellt. Der Mast ist zylinderförmig und hat einen Durchmesser von $80 \mathrm{~cm}$ . Er verläuft ebenso wie die seitlichen Kanten der Werbeflächen vertikal.
In einem Koordinatensystem wird das Gelände durch die $x_1x_2$ -Ebene beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1$ m in der Wirklichkeit. Der Mittelpunkt der Grundfläche des Masts wird durch den Koordinatenursprung dargestellt. Die Punkte $A(5\mid-2\mid 11),B(-2\mid5\mid11),C,D(5\mid -2\mid 15),E(-2\mid 5\mid 15)$ und $F(-2\mid -2\mid 15)$ stellen Eckpunkte der Werbeflächen dar.
1. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der grau dargestellten Werbefläche.
  Untersuchen Sie, ob die beiden anderen Werbeflächen einen rechten Winkel einschließen. (6 BE)
2. Die grau dargestellte Werbefläche liegt in einer Ebene, deren Gleichung in der Form $a \cdot x_{1}+a \cdot x_{2}=b$ dargestellt werden kann.
  Ermitteln Sie passende Werte von $a$ und $b$ . (3 BE)
3. Begründen Sie, dass der Abstand der grau dargestellten Werbefläche zum Mast mit dem Abstand des Mittelpunkts der oberen Kante dieser Werbefläche zum Mast übereinstimmt. (5 BE)
4. Auf dem Gelände befindet sich ein Sportplatz. Von dort aus blickt ein Kind zur grau dargestellten Werbefläche. Die Sicht des Kindes wird durch eine Mauer eingeschränkt. Die obere Kante der Mauer wird durch die Strecke zwischen den Punkten $P(20|-5| 3)$ und $Q(20|25| 3)$ dargestellt. Der Punkt, von dem der Blick des Kindes ausgeht, wird durch $K(24|15| 1)$ beschrieben. Das Kind kann denjenigen Teil der Werbefläche, der durch das Dreieck $G B H$ mit $G(4|-1| 11)$ dargestellt wird, nicht sehen (siehe Abbildung 2).
  Eine Sichtlinie verläuft von $K$ zu $G$ .
  Berechnen Sie die Größe des Winkels dieser Sichtlinie gegenüber dem horizontalen Gelände. (3 BE)
5. Berechnen Sie die Koordinaten von $H$ . (5 BE)
6. Auf dem Sportplatz wird ein Fußball geschossen. Die Flugbahn des Balls wird durch Punkte der Form $\left(32-8 t|5|-5 t^{2}+6{,}5 t+0{,}3\right)$ mit $t \geq 0$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Schuss vergangene Zeit in Sekunden.
  Beschreiben Sie, wie man ermitteln könnte, ob der Ball die Mauer trifft, bevor er den Boden berührt. (3 BE)
8
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 3B
Die Abbildung 1 zeigt das Viereck $A B C D$ mit $A(0|3| 0), B(0|9| 0), C(2|8| 4)$ und $D(2|4| 4)$ . Gegeben sind außerdem die Punkte $S_{t}(0|6| t)$ mit $t \geq 0$ .
1. Weisen Sie nach,
  dass in dem Viereck $A B C D$ zwei Seiten parallel zueinander sind.
  dass in dem Viereck $A B C D$ zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
  dass das Viereck $A B C D$ kein Rechteck ist.
  (6 BE)
2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $E$ , in der das Viereck $A B C D$ liegt, in Koordinatenform. (3 BE)
  [Zur Kontrolle: $2 x-z=0$ ]
3. Berechnen Sie den Winkel zwischen der $x y$ -Ebene und der Ebene $E$ , in der das Viereck $A B C D$ liegt. (3 BE)
4. Betrachtet werden die Geraden $g_{t}$ , die senkrecht zu der Ebene $E$ liegen und durch die Punkte $S_{t}$ verlaufen.
  Ermitteln Sie diejenigen Werte von $t$ , für die der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden $g_{t}$ und der Ebene $E$ im Inneren des Vierecks $A B C D$ liegt. (5 BE)
5. Im Folgenden gilt $t>4$ .
  Die Gerade durch die Punkte $S_{t}$ und $C$ schneidet die $x y$ -Ebene im Punkt $C_{t}^{\prime}$ , die Gerade durch die Punkte $S_{t}$ und $D$ schneidet diese Ebene im Punkt $D_{t}^{\prime}$ (vgl. Abbildung 1).
  Die beiden folgenden Gleichungen I und II liefern gemeinsam einen bestimmten Wert von $t$ .
  I. $\overrightarrow{O S_{t}}+r \cdot \overrightarrow{S_{t} C}=\overrightarrow{O C_{t}^{\prime}}$ mit $C_{t}^{\prime}(x|y| 0)$
  II. $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C_{t}^{\prime}}=0$
  Geben Sie für diesen Wert von $t$ die Art des Vierecks $A B C_{t}^{\prime} D_{t}^{\prime}$ an und begründen Sie Ihre Angabe. (5 BE)
6. Das Volumen der Pyramide $A B C_{t}^{\prime} D_{t}^{\prime} S_{t}$ wird in Abhängigkeit von $t$ durch einen der drei abgebildeten Graphen $G_{1}, G_{2}$ und $G_{3}$ dargestellt (Abbildung 2).
  Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie Ihre Angabe. (3 BE)
9
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 3C
Die Abbildung 1 zeigt den Körper $A B C D E F$ mit $A(6|3| 0)$ , $\mathrm{B}(0|6| 0), C(3|0| 0), D(6|3| 6), E(0|6| 6)$ und $F(3|0| 12)$ .
1. Die Punkte $D, E$ und $F$ liegen in der Ebene $L$ mit dem Normalenvektor $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)$ .
  Geben Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform an.
  Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene einschließt. (5 BE)
2. Der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ kann mit dem Term
  $6 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ berechnet werden
  Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 1. (3 BE)
3. Berechnen Sie das Volumen des Körpers $A B C D E F$ . (3 BE)
  VE
4. Die Ebene $N_{k}$ enthält die $x_{3}$ -Achse und den Punkt $P_{k}(1-k|k| 0)$ mit $0<k<1$ .
  Welche Kanten des Körpers von $N_{k}$ geschnitten werden, ist abhängig von $k$ . Die Abbildung 2 zeigt die Situation für $k=0{,}8$ .
  Nennen Sie für $k=0{,}8$ die Kanten, die geschnitten werden.
  Durchläuft $k$ alle Werte zwischen 0 und 1, so gibt es Bereiche $a<k<b$ , in denen $N_{k}$ für alle Werte von $k$ jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet.
  Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche. (6 BE)
5. Auf der Kante $\overline{A D}$ liegt der Punkt $Q$ , auf der Kante $\overline{B E}$ der Punkt $R(0|6| 2)$ . Das Dreieck $F Q R$ hat in $Q$ einen rechten Winkel.
  Bestimmen Sie die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ . (5 BE)
6. Der Körper wird so um die Gerade durch $A$ und $B$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt und dabei eine positive $x_{2}$ -Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:
  $\overrightarrow{A B} \cdot[(\overrightarrow{O A}+s \cdot \overrightarrow{A B})-\overrightarrow{O C}]=0$ liefert die Lösung $s=0{,}2$ , d. h. $S(4{,}8|3{,}6| 0)$
  $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O T}=\overrightarrow{O S}+|\overrightarrow{C S}| \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
  Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung.
  Geben Sie die Bedeutung von $S$ an. (3 BE)

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