Aufgabe 3C
![Bild](https://assets.serlo.org/ecaf7c80-b92b-11ee-9f10-ff1a89022a7c/aufgabengruppe.jpg)
Die Abbildung 1 zeigt den Körper ABCDEF mit A(6∣3∣0), B(0∣6∣0),C(3∣0∣0),D(6∣3∣6),E(0∣6∣6) und F(3∣0∣12).
Die Punkte D,E und F liegen in der Ebene L mit dem Normalenvektor 243.
Geben Sie eine Gleichung von L in Koordinatenform an.
Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den L mit der x1x2-Ebene einschließt. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Gleichung von L in Koordinatenform
Erstelle zunächst die Ebenengleichung L in Parameterform:
L=EDEF:X=D+r⋅DE+s⋅DF
Berechne die Richtungsvektoren:
DE=E−D=066−636=−630
DF=F−D=3012−636=−3−36
Berechne den Normalenvektor der Ebene L über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von L.
n=DE×DF
n=−630×−3−36=183627=9⋅243
Benutze den verkürzten Normalenvektor nL=243.
Für die Normalenform gilt: L:(X−D)∘nL=0
(X−D)∘nL = 0 ↓ Setze D und nL ein.
X−636∘243 = 0 x1x2x3−636∘243 = 0 ↓ Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um, indem das Skalarprodukt berechnet wird:
x1⋅2+x2⋅4+x3⋅3−(6⋅2+3⋅4+6⋅3) = 0 ↓ Fasse zusammen
x1⋅2+x2⋅4+x3⋅3−42 = 0 Die Gleichung der Ebene L lautet: x1⋅2+x2⋅4+x3⋅3−42=0
Berechnung der Größe φ des Winkels, den L mit der x1x2-Ebene einschließt
Der Normalenvektor der Ebene L ist der Vektor nL=243.
Sein Betrag ist ∣nL∣=22+42+32=29.
Der Normalenvektor der x1x2-Ebene ist nx1x2=001.
Sein Betrag ist ∣nx1x2∣=1.
Der Winkel zwischen den beiden Ebenen berechnet sich mit:
cos(φ)=∣nL∣⋅∣nx1x2∣nL∘nx1x2
cos(φ) = ∣nL∣⋅∣nx1x2∣nL∘nx1x2 ↓ Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.
= 29⋅1243∘001 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
= 29⋅12⋅0+4⋅0+3⋅1 ↓ Fasse zusammen.
= 293 Der Winkel φ erhält man durch Anwendung der trigonometrischen Umkehrfunktion: φ=cos−1(293)≈56,15∘
Der Winkel, den L mit der x1x2-Ebene einschließt, beträgt rund 56,15∘.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1. Teil
Erstelle zunächst die Ebenengleichung L in Parameterform:
L=EDEF:X=D+r⋅DE+s⋅DF
Wandle dann die Parameterform in die Normalenform um und diese dann in die Koordinatenform.
2. Teil
Benutze den Normalenvektor der Ebene L.
Der Normalenvektor der x1x2-Ebene ist nx1x2=001.
Dann gilt für den gesuchten Winkel:
Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann mit dem Term
6⋅6−21⋅3⋅3−2⋅21⋅3⋅6 berechnet werden
Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 1. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Veranschaulichung des Terms 6⋅6−21⋅3⋅3−2⋅21 3⋅6
Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 1. In der folgenden Abbildung, die nur den Grundriss des Körpers zeigt, sind mehrere Flächen farbig markiert.
Skizze
Innerhalb eines Quadrates liegen vier Dreiecke. Warum ist es ein Quadrat?
Die Punkte A und B liegen auf diesem Quadrat. Der Punkt A hat die x1-Koordinate 6 und der Punkt B hat die x2-Koordinate 6. ⇒A□=6⋅6
Das ist der erste Term von 6⋅6−21⋅3⋅3−2⋅21⋅3⋅6.
Der Punkt A hat die x2-Koordinate 3 und der Punkt C hat die x1-Koordinate 3.
Die Fläche des gru¨n gefärbten Dreiecks ist dann A△=21⋅3⋅3.
Das ist der zweite Term von 6⋅6−21⋅3⋅3−2⋅21⋅3⋅6.
Die beiden rot gefärbten Dreiecke haben die Seitenlängen 3 und 6 und ihre Fläche ist jeweils A△=21⋅3⋅6.
Diese beiden Dreiecksflächen ergeben zusammen den dritten Term in dem gegebenen Term.
Da vom Flächeninhalt der Quadratfläche insgesamt drei Flächeninhalte der Dreiecke subtrahiert werden, bleibt als Ergebnis der Flächeninhalt des braunen Dreiecks ABC übrig.
Der gegebene Term stellt also den Flächeninhalt des Dreiecks ABC dar.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Zeichne in die Abbildung ein Quadrat ein.
Der Punkt A liegt auf einer Quadratseite. In dem Quadrat findet man das Dreieck ABC und drei weitere Dreiecke.
Berechne den Flächeninhalt des Quadrates und subtrahiere die Flächeninhalte der drei um das Dreieck ABC liegenden Dreiecke. Als Ergebnis erhältst Du den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Berechnen Sie das Volumen des Körpers ABCDEF. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Das Volumen des Körpers ABCDEF
Der Körper setzt sich aus zwei Teilen zusammen, ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.
Volumen des dreiseitigen Prismas
VPrisma=G⋅h
Die Grundseite G ist das Dreieck ABC aus der Aufgabe b).
Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist:
Das Prisma hat die Höhe h=6LE, da die x3-Koordinate des Punktes D gleich 6 ist.
Setze die Werte für G und h in die Volumenformel ein:
⇒VPrisma=13,5⋅6=81VE
Volumen der dreiseitigen Pyramide
VPyramide=31⋅G⋅h
Die dreiseitige Pyramide hat die gleiche Grundfläche wie das Prisma
(G=13,5FE).
Die Höhe der Pyramide ist h=12−6=6LE, da die Differenz der x3-Koordinaten der Punkte F und D gleich 6 ist.
Setze die Werte für G und h in die Volumenformel ein:
Das Gesamtvolumen des Körpers ABCDEF ist dann:
Vgesamt=VPrisma+VPyramide=(81+27)VE=108VE
Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Ebene Nk enthält die x3-Achse und den Punkt Pk(1−k∣k∣0) mit 0<k<1.
Welche Kanten des Körpers von Nk geschnitten werden, ist abhängig von k. Die Abbildung 2 zeigt die Situation für k=0,8.
Nennen Sie für k=0,8 die Kanten, die geschnitten werden.
Durchläuft k alle Werte zwischen 0 und 1, so gibt es Bereiche a<k<b, in denen Nk für alle Werte von k jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet.
Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche. (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Kanten für k=0,8, die geschnitten werden
Betrachtet man die Abbildung, so erkennt man, dass die Kanten AB, DE, BC und EF geschnitten werden.
Der größte dieser Bereiche
Interessant ist die Ebene Nk, die durch den Punkt A verläuft.
Für welches k enthält die Ebene Nk den Punkt A(6∣3∣0)?
Man erstellt eine Geradengleichung gOA, die durch den Ursprung verläuft und den Punkt A enthält.
gOA:X=r⋅630
Der Punkt Pk soll auf der Geraden gOA liegen:
Pk∩gOA
1−kk0 = r⋅630 Es ergeben sich zwei Gleichungen:
(I):1−k=6r⇒(I′):r=61−k
(II):k=3r⇒(II′):r=3k
Aus (I′)=(II′) folgt:
61−k = 3k ⋅6 ↓ Löse nach k auf.
1−k = 2⋅k +k 1 = 3⋅k :3 31 = k Für k=31 verläuft die Ebene N31 durch den Punkt A.
Diese Ebene ist in der folgenden Abbildung dargestellt. (Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung, sie dient nur zur Veranschaulichung.)
Skizze
Durchläuft nun k die Werte von 0 bis 1, dreht sich die Ebene Nk um die x3-Achse.
Dabei werden zwei verschiedene Bereiche ]a;b[ durchlaufen, sodass die Ebene Nk für alle Werte von k aus ]a;b[ die gleichen Kanten des Körpers schneidet.
Der erste Bereich ist das Intervall ]0;31[ mit einer Intervalllänge von 31, der zweite Bereich ist das Intervall ]31;1[ mit einer Intervalllänge von 32.
Gesucht ist der größere Bereich, also hier das Intervall ]31;1[.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1. Teil
Betrachte die Abbildung und notiere die Kanten, die von der Ebene N0,8 geschnitten werden.
2. Teil
Finde ein k, sodass eine Ebene Nk durch den Punkt A verläuft.
Man erstellt eine Geradengleichung gOA, die durch den Ursprung verläuft und den Punkt A enthält. Der Punkt Pk soll auf der Geraden gOA liegen.
Die entsprechende Gleichung ergibt einen Wert für k.
Damit gibt es dann zwei Bereiche. Der erste Bereich ist das Intervall ]0;k[ und der zweite Bereich ist das Intervall ]k;1[.
Gesucht ist der größere Bereich mit der größeren Intervalllänge.
Auf der Kante AD liegt der Punkt Q, auf der Kante BE der Punkt R(0∣6∣2). Das Dreieck FQR hat in Q einen rechten Winkel.
Bestimmen Sie die x3-Koordinate von Q. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
x3 Koordinate von Q
Das Dreieck FQR hat in Q einen rechten Winkel. Daher gilt:
QR⊥QF⇒QR∘QF=0
Der Punkt Q hat dieselben x1- und x2-Koordinaten wie der Punkt A.
⇒Q(6∣3∣q3)
Berechne die Vektoren QR und QF:
QR=R−Q=062−63q3=−632−q3
QF=F−Q=3012−63q3=−3−312−q3
QR∘QF = 0 ↓ Setze die Vektoren ein.
−632−q3∘−3−312−q3 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
(−6)⋅(−3)+3⋅(−3)+(2−q3)⋅(12−q3) = 0 ↓ Vereinfache.
18−9+24−2q3−12q3+q32 = 0 ↓ Fasse zusammen.
q32−14q3+33 = 0 Lösen der quadratischen Gleichung
Die erhaltene quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel gelöst werden.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Die Werte für p und q werden abgelesen: p=−14 und q=33
q31,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p und q ein.
= −2(−14)±(2−14)2−33 ↓ Vereinfache.
= 7±49−33 ↓ Fasse zusammen.
= 7±16 ↓ Ziehe die Wurzel.
= 7±4 q3 ist somit entweder 11 oder 3. Die Lösung q3=11 entfällt, da q3 zwischen 0 und 6 liegen muss (A hat die x3-Koordinate 0 und D hat die x3-Koordinate 6).
Die q3-Koordinate von Q ist also 3 und der Punkt Q hat die Koordinaten Q(6∣3∣3).
Hast du eine Frage oder Feedback?
Das Dreieck FQR hat in Q einen rechten Winkel. Daher gilt: QR∘QF=0
Der Punkt Q hat dieselben x1- und x2-Koordinaten wie der Punkt A.
⇒Q(6∣3∣q3)
Berechne die Vektoren QR und QF und damit das oben angegebene Skalarprodukt.
Du erhältst eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen für q3. Beachte, dass q3 zwischen 0 und 6 liegen muss.
Der Körper wird so um die Gerade durch A und B gedreht, dass der mit D bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der x1x2-Ebene liegt und dabei eine positive x2-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:
AB⋅[(OA+s⋅AB)−OC]=0 liefert die Lösung s=0,2, d. h. S(4,8∣3,6∣0)
OT=OS+∣CS∣⋅001
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung.
Geben Sie die Bedeutung von S an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lotfußpunktverfahren
Passende Aufgabenstellung
Was wird berechnet?
Der Ausdruck AB⋅[(OA+s⋅AB)−OC]=0 ist gegeben.
Es handelt sich hier um ein Skalarprodukt, das gleich null ist. Die beiden beteiligten Vektoren müssen also senkrecht aufeinander stehen.
Der erste Vektor ist der Vektor AB, der Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte A und B.
Man betrachtet nun den Vektor in der eckigen Klammer. Es handelt sich um die Differenz zwischen einem beliebigen Punkt S auf der Geraden gAB durch die Punkte A und B und dem Vektor OC.
Dabei ist die Gerade gAB gegeben durch:
gAB:OX=OA+s⋅AB
Die eckige Klammer stellt somit den Vektor CS dar.
Es ist also: AB∘CS=0⇒AB⊥CS
Die Lösung der Gleichung AB∘CS=0 liefert für s den Wert s=0,2.
Einsetzen von s=0,2 in die Geradengleichung gAB ergibt die Koordinaten des Lotfußpunktes S(4,8∣3,6∣0).
Für den Punkt T gilt die Gleichung:
OT=OS+CS⋅001
Die folgende Abbildung verdeutlicht diese Gleichung.
Skizze
Der Punkt C wird um 90∘ gedreht, sodass der Punkt T entsteht.
Dabei ist CS=ST.
Aber der Vektor ST steht senkrecht auf dem Vektor CS. Deshalb muss zum OS der Vektor CS⋅001 addiert werden, um zum Vektor OT zu kommen.
Aufgabenstellung
Der Punkt T entsteht aus dem Punkt C durch Rotation des Körpers um die Gerade gAB um 90∘. Gesucht sind die Koordinaten des Punktes T.
Bedeutung von S
Der Punkt S ist der Punkt auf der Kante AB mit dem kürzesten Abstand von C. (S ist der Lotfußpunkt von C auf die Gerade gAB.)
Hinweis: Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung. Sie ist nicht Teil der Aufgabenstellung.
Skizze
Hast du eine Frage oder Feedback?
Untersuche die einzelnen Teile des Ausdrucks AB⋅[(OA+s⋅AB)−OC]=0.
Die Lösung dieser Gleichung ergibt einen Wert für s und einen Punkt S.
Mit diesem Punkt S und dem Punkt C wird ein weiterer Vektor OT berechnet.
Welche Bedeutung hat der Vektor OT?