Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1B

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit

$f_{a}(x)=e^{x} \cdot(x-a)^{2}$ mit $a \in \mathbb{R}$ .

Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt.

Der Graph von $f_{1}$ hat in einem seiner Wendepunkte eine negative Steigung.
Bestimmen Sie diesen Wendepunkt und diese Steigung. (6 BE)
Jeder Graph von $f_{a}$ hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt.
Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an.
Begründen Sie, dass der gemeinsame Punkt mit der $x$ -Achse der Tiefpunkt des Graphen von $f_{a}$ ist. (4 BE)
Für jeden Wert von $a$ mit $a \neq 0$ schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte des Graphen von $f_{a}$ mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Berechnen Sie denjenigen Wert von $a$ , für den dieses Dreieck gleichschenklig ist. (6 BE)
Für jeden Wert von $a$ gilt: $f_{a}(a)=0$ und $f_{a}^{\prime}(a)=0$ und $f_{a}^{\prime \prime}(a) \neq 0$
Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Stammfunktionen zu $f_{a}$ an. (3 BE)
Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von $a$ die Graphen von $f_{a}^{\prime}$ und $f_{a}^{\prime \prime}$ .
Entscheiden Sie, welcher der beiden Graphen I und II zu welcher Ableitungsfunktion gehört, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)
Abbildung 3
Der Schalldruckpegel wird oft umgangssprachlich als Lautstärke bezeichnet. Bei einem bestimmten Weckton eines Weckers wird der Schalldruckpegel durch die Funktionen $h$ und $k$ beschrieben:
$h(x)=20 \cdot \sin (x)$ für $0 \leq x \leq 2$
$k(x)=20 \cdot \sin (x-2)+20 \cdot \sin (2)$
für $2 \leq x \leq 4$
Dabei ist $x$ die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden. $h(x)$ und $k(x)$ geben den Schalldruckpegel in Dezibel (db) an.
Die Abbildung 3 zeigt die Graphen von $h$ und $k$ .
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat.
(6 BE)
Dem Graphen von $h$ ist zu entnehmen, dass der Weckton in den ersten zwei Sekunden bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand.
Berechnen Sie den größten dieser Abstände. (6 BE)
Berechnen Sie unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von $k$ : (6 BE)
Der durchschnittliche Funktionswert von $k$ im Intervall $[a ; b]$ stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:
- Das Rechteck hat die Breite $b-a$ .
- Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für $a \leq x \leq b$ zwischen dem Graphen von $k$ und der $x$ -Achse liegt.