Berechnung der 1. und 2. Ableitung

Gegeben ist für $a=1$: $f_{1}(x)=e^{x} \cdot(x-1)^{2}$.

Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produktregel.

$f_1'(x)=e^x\cdot(x-1)^2+e^x\cdot 2\cdot(x-1)=e^x(x^2-2x+1+2x-2)$

$f_1'(x)=e^x\cdot(x^2-1)$

Entsprechend wird die zweite Ableitung berechnet:

$f_1''(x)=e^x\cdot(x^2-1)+e^x\cdot 2x=e^x\cdot(x^2-1+2x)=e^x\cdot(x^2+2x-1)$

Setze $f''(x)=0$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f''(x)=0$.

Es muss also $e^x\cdot(x^2+2x-1)=0$ sein. Da $e^x$ immer ungleich null ist, wird die Klammer gleich null gesetzt und mit der pq-Formel gelöst.

$\Rightarrow\; x^2+2x-1=0$

Es ist $p=2$ und $q=-1$:

Man erhält die beiden Lösungen:

$x_1=-1-\sqrt{2}\approx-2{,}4$ und $x_2=-1+\sqrt{2}\approx0{,}4$

Gefordert war in der Aufgabenstellung ein Wendepunkt mit negativer Steigung.

Betrachtet man den Graphen von $f$, dann ist an der Stelle $x_2=0{,}4$ die Steigung des Graphens negativ. Somit befindet sich der gesuchte Wendepunkt an der Stelle $x_2$.

Berechne noch $f_1(-1+\sqrt{2})$, um die Koordinaten des Wendepunktes angeben zu können:

Somit hat der gesuchte Wendepunkt die Koordinaten:$WP\left(-1+\sqrt{2}|f_1(-1+\sqrt{2})\right) \;\Rightarrow\;WP(0{,}4|0{,}5)$

Bestimmung der Steigung in diesem Wendepunkt

Es ist $f_1'(x)=e^x\cdot(x^2-1)$.

Setze $x_2=-1+\sqrt{2}$ ein:

$f_1'(-1+\sqrt{2})=e^{(-1+\sqrt{2})}\cdot\left((-1+\sqrt{2})^2-1\right)\approx-1{,}3$

Die Steigung in diesem Wendepunkt beträgt rund $-1{,}3$.

Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne $f_a(0)$:

$f_a(0)=e^0(0-a)^2=a^2\;\Rightarrow\;S_y(0|a^2)$

Für den Schnittpunkt mit der x-Achse berechne $f_a(x)=0$:

$0=e^{x} \cdot(x-a)^{2}$

Da $e^x$ immer ungleich null ist, muss $(x-a)^2=0$ sein.$\;\Rightarrow\;x_{1{,}2}=a$

$\Rightarrow\;N_{1{,}2}(a|0)$

Begründung, dass der gemeinsame Punkt mit der x-Achse der Tiefpunkt des Graphen von f ist

Für die Funktion $f_a(x)$ gilt, dass sie für alle $x$ größer oder gleich null ist.

Der Punkt $(a|0)$ muss demnach der Tiefpunkt sein.

Bestimmung der Extrempunkte

Es ist $f_a'(x)=e^x\cdot(x-a)\cdot(2+x-a)$.

$e^x\cdot(x-a)\cdot(2+x-a)=0$

Da $e^x$ immer ungleich null ist, muss eine der Klammern gleich null sein (Satz vom Nullprodukt).

Die erste Nullstelle ist $x=a$, mit dem Tiefpunkt $TP(a|0)$ (siehe Aufgabe b).

Die zweite Nullstelle ist bei $2+x-a=0$, d.h. $x=a-2$.

An dieser Stelle muss der Hochpunkt vorliegen.

$f_a(a-2)=e^{a-2}(a-2-a)^2=4\cdot e^{a-2}\;\Rightarrow\;HP(a-2|4\cdot e^{a-2})$

Geradengleichung

Gerade $y=m\cdot x+b$ durch die beiden Extrempunkte des Graphen von $f_{a}$:

Es ist $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{4\cdot e^{a-2}-0}{a-2-a}=-2\cdot e^{a-2}$

$\Rightarrow\;y=-2\cdot e^{a-2} \cdot x+b$

Setze den Punkt $(a|0)$ ein:

$0=-2\cdot e^{a-2} \cdot a+b\;\Rightarrow\;b=2\cdot a\cdot e^{a-2}$

$\Rightarrow\;y=-2\cdot e^{a-2} \cdot x+2\cdot a\cdot e^{a-2}$

Gleichschenkliges Dreieck

Diese Gerade schneidet die x-Achse bei $x=a$ und der y-Achsenabschnitt beträgt $2\cdot a\cdot e^{a-2}$. Damit das Dreieck gleichschenklig ist, muss $a=2\cdot a\cdot e^{a-2}$ sein.

Für $a=\ln(0{,}5)+2\approx1{,}307$ ist dieses Dreieck gleichschenklig.

Wenn $F_a(x)$ eine Stammfunktion von $f_a(x)$ ist, dann gilt nach Aufgabenstellung:

$F_a'(a) =f_a(a)=0\;\Rightarrow\;$ Die Stammfunktion hat an der Stelle $x=a$ eine waagrechte Tangente.

$F_a''(a) =f_a'(a)=0\;\Rightarrow\;$ An der Stelle $x=a$ hat der Graph der Stammfunktion einen Wendepunkt, da hier auch gilt, dass $F_a'''(a) =f_a''(a)\neq 0$ ist.

Somit hat der Graph der Stammfunktion $F_a(x)$ an der Stelle $x=a$ eine waagrechte Wendetangente. Es handelt sich hier um einen Terrassen- oder Sattelpunkt.

Der Graph I hat eine positive Nullstelle. Bei dieser positiven Nullstelle hat der Graph II ein Extremum (TP). Demnach muss der Graph 1 zu $f''_a$ und der Graph II zu $f'_a$ gehören.

Der Graph II kommt als Ableitungsfunktion von Graph I nicht infrage, da an der Stelle, an der der Graph I einen Tiefpunkt hat, der Graph II keine Nullstelle hat.

Der größte Schalldruckpegel wird im Verlauf der Funktion $k(x)$ erreicht.

Bestimmung des Maximums von $k(x)$

Berechne die 1. Ableitung und setze sie gleich null.

Es ist $k(x)=20 \cdot \sin (x-2)+20 \cdot \sin (2)\;\Rightarrow\;k'(x)=20 \cdot \cos (x-2)$.

$k'(x)=0$

Der Kosinus hat eine Nullstelle bei $x=\dfrac{\pi}{2}\;$.

$\Rightarrow\;x-2=\dfrac{\pi}{2}\;\Rightarrow\;x=2+\dfrac{\pi}{2}\approx3{,}57$

Nach etwa $3{,}6$ Sekunden wird der größte Schalldruckpegel erreicht.

Bestimmung Punkt $B$

$B$ hat den gleichen y-Wert wie der Punkt $A$ $\;\Rightarrow\;$$y=20 \cdot \sin (2)\approx18{,}1859$

Gesucht ist jetzt die x-Koordinate von $B \;\Rightarrow\;18{,}1859=20 \cdot \sin (x)$.

$\Rightarrow\;\sin(x)=\dfrac{18{,}1859}{20}=0{,}9093$ oder $x=\sin^{-1}(0{,}9093)=1{,}1416$

Differenz $x_A-x_B$

Der größte Abstand hat dann die Länge:

$x_A-x_B=2-1{,}1416=0{,}8584\approx0{,}86\;\text{s}$.

Berechnung des Mittelwerts

Die Funktion $k$ ist im Intervall $[2;4]$ definiert.

Die Fläche eines Rechtecks $A$ ist Höhe $h$ mal Breite, wobei das Rechteck die Breite $4-2=2$ hat.$\;\Rightarrow\;A=h\cdot 2$

Weiterhin gilt:

Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für $2 \leq x \leq 4$ zwischen dem Graphen von $k$ und der $x$-Achse liegt.

$\Rightarrow\;A= \displaystyle \int_2^4k(x) dx=\displaystyle \int_2^4\left(20 \cdot \sin (x-2)+20 \cdot \sin (2) \right)dx$

Das CAS liefert als Ergebnis: $A=64{,}6948\;\text{FE}$

$\Rightarrow\;64{,}6948=h\cdot 2$ bzw. $h\approx32{,}35$

Der durchschnittliche Funktionswert von $k$ entspricht der berechneten Höhe $32{,}35$.

Alternative Berechnung des Mittelwertes

Für den Mittelwert gilt allgemein:

$\dfrac{1}{b-a}\cdot \displaystyle \int_a^bk(x) dx$

Mit den Grenzen $a=2$ und $b=4$ folgt dann:

$\dfrac{1}{4-2}\cdot \displaystyle \int_2^4k(x) dx=\dfrac{1}{2}\cdot 64{,}6948\approx 32{,}35$