Es ist $n=20$.

A: "Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt".

Unter den zehn Zahlen auf dem Glücksrad gibt es insgesamt fünf ungerade Zahlen:

$\{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\Rightarrow\;p(\text{ungerade})=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$

Gesucht ist $P_{20;0{,}5}(X=7)=B(20;\frac{1}{2};7)$

$\text{binompdf}(20;\frac{1}{2};7)\approx0{,}0739$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt wird, beträgt $0{,}0739$ oder rund $7{,}4\;\%$.

B: "Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt".

Gesucht ist $P_{20;0{,}5}(7<X\leq 12)$:

$\text{binomcdf}(20;0{,}5;8;12)\approx0{,}7368$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt wird, beträgt $0{,}7368$ oder rund $74\;\%$.

Betrachte zunächst die Ereignisse $C$ und $D$.

C: "Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als $4$".

Möglich sind hier die Ereignisse $C=\{00, 01, 10, 02, 20, 03, 30, 11, 12, 21\}$.

Das sind $10$ von $100$ möglichen Ereignissen$\;\Rightarrow\;P(C)=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$.

D: "Das Produkt der erzielten Zahlen ist $2$ oder $3$".

Möglich sind hier die Ereignisse $D=\{12, 21, 13, 31 \}$.

Das sind $4$ von $100$ möglichen Ereignissen$\;\Rightarrow\;P(D)=\dfrac{4}{100}=\dfrac{1}{25}$.

Ereignisse $C$ und $D$ stochastisch unabhängig

Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt:

Die Schnittmenge der beiden Ereignisse $C$ und $D$ ist:

$C\cap D=\{12{,}21\}$

Das sind $2$ von $100$ möglichen Ereignissen$\;\Rightarrow\;P(C\cap D)=\dfrac{2}{100}=0{,}02$.

Andererseits ist $P(C)=\dfrac{1}{10}$ und $P(D)=\dfrac{4}{100}$.

$\Rightarrow\;P(C)\cdot P(D)=\dfrac{1}{10} \cdot\dfrac{4}{100}=\dfrac{4}{1000}=0{,}004$

$P(C\cap D)\neq P(C)\cdot P(D)$ denn $0{,}02 \neq 0{,}004$

Die Ereignisse $C$ und $D$ sind nicht stochastisch unabhängig.

Sie sind stochastisch abhängig.

Auszahlungsbeträge und Wahrscheinlichkeiten

Die Werte der Zufallsgröße $X$ sind die Auszahlungsbeträge in $€$.

Die Summe der erzielten Zahlen beträgt $60$.

Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1$ eine "0". Dann beträgt die Auszahlung $0\;€$ (erste Spalte).

Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1$ eine "1". Dann beträgt die Auszahlung $60+1=61\;€$ (zweite Spalte).

$.......$

Er spielt noch einmal und erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1$ eine "9". Dann beträgt die Auszahlung $60+9=69\;€$ (letzte Spalte).

Erwartungswert

Für den Erwartungswert gilt dann:

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{c c l}\text E (\text X) & = & x_1\cdot\text P (\text X =x_1) +x_2\cdot\text P (\text X =x_2) +\cdots+x_n\cdot\text P (\text X =x_n) \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{n}x_i\cdot\text P (\text X = x_i)\end{array}$$E(X)=(0+61+62+63+64+65+66+67+68+69)\cdot 0{,}1=58{,}5\;€$

Der Erwartungswert beträgt $58{,}5\;€$.

Erwartungswert

Der Erwartungswert für die Auszahlung ist $E(X)=5n\cdot 0{,}9^n$.

Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n$, für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen.

Zwei aufeinanderfolgende Werte für $n$ sind $n$ und $n+1$. Also sollen die Terme $5n\cdot 0{,}9^n$ und $5(n+1)\cdot 0{,}9^{n+1}$ übereinstimmen.

Ansatz: $5n\cdot 0{,}9^n=5(n+1)\cdot 0{,}9^{n+1}$

Bestimmung der Werte

Für $n=9$ und $n=10$ sollen die Erwartungswerte übereinstimmen.

Überprüfung:

$n=9\;\Rightarrow\;E(X)=5\cdot 9\cdot 0{,}9^9=45\cdot 0{,}9^9$

$n=10\;\Rightarrow\;E(X)=5\cdot 10\cdot 0{,}9^{10}=50\cdot 0{,}9\cdot 0{,}9^9=45\cdot 0{,}9^9$

Also stimmen die Erwartungswerte für $n=9$ und $n=10$ überein.

Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n$

Die obige Gleichung für $n$ hat nur eine einzige Lösung, nämlich $n=9$. Demnach kann es nur zwei und nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n$ geben. Hätte die obige Gleichung hingegen zwei verschiedene Lösungen für $n$, dann gäbe es drei aufeinanderfolgende Werte von $n$.

Relative Häufigkeit

Bei $80$ Drehungen wird $12$-mal die "$0$" erzielt$\;\Rightarrow\;\dfrac{X}{n}=\dfrac{12}{80}=0{,}15$

Konfidenzintervall

Für ein $95 \%$-Konfidenzintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$, bei einer Drehung die "$0$“ zu erzielen gilt:

$\left|\dfrac{X}{n}-p\right|\leq1{,}96\cdot\dfrac{\sigma}{n}\;\Rightarrow\;\left|0{,}15-p\right|\leq1{,}96\cdot\dfrac{\sigma}{n}$

Demnach liegt die Wahrscheinlichkeit $p$ im Intervall:

$0{,}15-1{,}96\cdot\dfrac{\sigma}{n}\leq p\leq0{,}15+1{,}96\cdot\dfrac{\sigma}{n}$.

Die rechte Grenze des Intervalls ist immer größer als $1{,}5$ und ist damit auch größer als $0{,}1$.

Berechnung des Wertes $n$

Es ist $p=0{,}1$. Dann gilt für ein $95\;\%$-Konfidenzintervall:

$\left[0{,}1-1{,}96\cdot\frac{\sqrt{ 0{,}1\cdot0{,}9}}{\sqrt{n}};0{,}1+1{,}96\cdot\frac{\sqrt{ 0{,}1\cdot0{,}9}}{\sqrt{n}}\right]$

Die linke Grenze des Intervalls ist sicher kleiner als $0{,}1$, d.h. $h=0{,}15$ muss rechts von der rechten Grenze liegen.

Damit erhält man folgende Ungleichung:

Hier würde man $n=139$ wählen. In der Aufgabenstellung steht aber, dass bei genau $15\;\%$ der Drehungen die "$0$" erscheint.

Dann sind $15\;\%$ von $139$ gleich $20{,}85$. Hier muss aber eine ganze Zahl stehen, da es sich um eine Anzahl handelt.

Die nächst größere ganze Zahl ist $21$$\;\Rightarrow\;n\cdot 0{,}15=21\;\text{bzw.}\; n=\dfrac{21}{0{,}15}=140.$

Die kleinste Anzahl an Drehungen ist $n=140$.