Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2C

In einem Land arbeiten $25 \%$ der Lehrkräfte an einem Gymnasium. $15 \%$ der Lehrkräfte sind weiblich und arbeiten an einem Gymnasium. Insgesamt sind $72 \%$ der Lehrkräfte weiblich.

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Vierfeldertafel
Wir bezeichnen die Ereignisse:
$G$ : Lehrkraft ist auf dem Gymnasium
$W$ : Lehrkraft ist weiblich
$\overline{G}$ und $\overline{W}$ sind entsprechende Gegenereignisse
Aus der Aufgabenstellung können wir einige Angaben übernehmen:
$W$
$\overline{W}$
$G$
15 %
25 %
$\overline{G}$
72 %
100 %
In den Zeilen und Spalten können wir die Summen bestimmen und den Rest der Werte ermitteln.
$W$
$\overline{W}$
$G$
15 %
10 %
25 %
$\overline{G}$
57 %
18 %
75 %
72 %
28 %
100 %
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Erstelle eine Vierfeldertafel und übernimm die Angaben aus der Aufgabenstellung.
Berechne die fehlenden Werte in den Zeilen und Spalten über die Summe.
Eine zufällig ausgewählte Lehrkraft ist weiblich.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie an einem Gymnasium arbeitet. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir verwenden die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe (a):
$W$
$\overline{W}$
$G$
15 %
10 %
25 %
$\overline{G}$
57 %
18 %
75 %
72 %
28 %
100 %
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrkraft weiblich ist und am Gymnasium arbeitet, beträgt: $15~\%$
Diese wird ausgewählt unter den Lehrkräften, die weiblich sind: $72~\%$
$\dfrac{15~\%}{72~\%}\approx 20{,}83~\%$
Das ist auch die bedingte Wahrscheinlichkeit des Merkmals "Gymnasium" unter der Bedingung "weiblich": $P_W(G)=\dfrac{P(W\cap G)}{P(W)}=\dfrac{15\%}{72\%}$ .
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Lies die nötigen Werte aus der Vierfeldertafel ab und berechne den Quotient.
$100$ Lehrkräfte werden zufällig ausgewählt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen $100$ Lehrkräften die Anzahl derer, die nicht am Gymnasium arbeiten, mindestens viermal so groß ist, wie die Anzahl derer, die am Gymnasium arbeiten. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Parameter bestimmen
Es geht um das Ereignis $\overline{G}$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(\overline{G})=75~\%$ . Bei jeder zufällig ausgewählten Lehrkraft ist das die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht auf dem Gymnasium ist.
Wir wählen $n=100$ zufällige Lehrkräfte aus.
Wir möchten $k\ge80$ Lehrkräfte, die nicht auf dem Gymnasium sind, sodass diese Anzahl viermal so groß ist als $20$ (Lehrkräfte auf dem Gymnasium).
Binomialverteilte Wahrscheinlichkeit berechnen
$X$ beschreibt die Anzahl dieser Lehrkräfte, die nicht auf dem Gymnasium sind und ist binomialverteilt. Wir rechnen:
$P(X≥80)=1−P(X≤79)=1−\text{BinomCDF}_{100;0{,}75}(79)=0{,}1488$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80 Lehrkräfte nicht auf dem Gymnasium sind, beträgt etwa 14,9%.
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Berechne die Wahrscheinlichkeit mithilfe der Binomialverteilung.
Bestimme dazu die Parameter $n,p$ und $k$ aus den Angaben.
Geben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an: (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bedeutung des Terms
Der erste Summand $\binom{100}{75}\cdot {\underbrace{0{,}75}_{P(\overline{G})}} ^{75}\cdot 0{,}25^{25}$ beschreibt die binomialverteilte Wahrscheinlichkeit, unter 100 zufällig ausgewählten Lehrkräften genau 75 zu finden, die nicht auf dem Gymnasium sind.
Die Summe von $k=75$ bis $k=100$ stellt also das Ereignis dar:
Aus 100 Lehrkräften werden mindestens 75 ausgewählt, die nicht auf dem Gymnasium sind.
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Bestimme, um welches Ereignis es sich handelt und welche Werte für $X$ betrachtet werden.
Im Folgenden wird ein Spiel betrachtet. In einem Behälter befinden sich vier weiße und fünf schwarze Kugeln. Der Spieler bezahlt zunächst einen Einsatz von $2$ Euro. Dieser Betrag wird neben dem Behälter ausgelegt. Anschließend muss der Spieler aus dem Behälter zweimal nacheinander eine Kugel zufällig ziehen und wieder zurücklegen. Nach jedem der beiden Züge wird der ausliegende Betrag vom Spielleiter verdoppelt, wenn eine weiße Kugel gezogen wird, und sonst halbiert. Nach dem Spiel erhält der Spieler den dann ausliegenden Betrag.
Der Term $8 \cdot\left(\frac{4}{9}\right)^{2}+2 \cdot 2 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{9}+\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{5}{9}\right)^{2}$ gibt den Erwartungswert für den Betrag in Euro an, den der Spieler nach dem Spiel erhält.
Interpretieren Sie den zweiten der drei Summanden im Sachzusammenhang. (4 BE)
Ereignis im Sachzusammenhang
Die Wahrscheinlichkeiten $\frac49$ und $\frac59$ deuten darauf hin, dass eine schwarze und eine weiße Kugel gezogen werden.
Da schwarz-weiß, aber auch weiß-schwarz gezogen werden können, werden diese Reihenfolgen mit dem Faktor $2$ berücksichtigt.
Der Spieler erhält nach so einem Zug $2~€$ , daher nochmal ein Faktor $2$ .
Der zweite Summand beschreibt also den Fall im Erwartungswert, wenn unterschiedliche Kugeln gezogen werden.
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Interpretiere die Wahrscheinlichkeiten $\frac49$ und $\frac59$ .
Überlege, wie verschiedene Reihenfolgen hier berücksichtigt werden.

	$W$
$G$	15 %	25 %
$\overline{G}$
	72 %	100 %

	$W$	$\overline{W}$
$G$	15 %	10 %	25 %
$\overline{G}$	57 %	18 %	75 %
	72 %	28 %	100 %

	$W$	$\overline{W}$
$G$	15 %	10 %	25 %
$\overline{G}$	57 %	18 %	75 %
	72 %	28 %	100 %

In einem weiteren Behälter befinden sich ebenfalls weiße und schwarze Kugeln.

Ermitteln Sie, wie das Verhältnis der Anzahlen der weißen und schwarzen Kugeln in diesem Behälter sein muss, damit das Spiel fair ist. (4 BE)

$\displaystyle 8\cdot p^2+2\cdot2\cdot p\cdot\left(1-p\right)+\frac{1}{2}\cdot\left(1-p\right)^2-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ausmultiplizieren
$\displaystyle 8p^2+4p-4p^2+\frac{1}{2}-p+\frac{1}{2}p^2-2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Zusammenfassen
$\displaystyle \frac{9}{2}p^2+3p-\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Division durch $\frac{9}{2}$
$\displaystyle p^2+\frac{2}{3}p-\frac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	quadratische Gleichung lösen
$\displaystyle p_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}\pm\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{3}}$
	↓	Unter der Wurzel zusammfassen und Wurzel ziehen
$\displaystyle p_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}\pm\frac{2}{3}$

Aufgabe 2C

Vierfeldertafel

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Wahrscheinlichkeit berechnen

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Parameter bestimmen

Binomialverteilte Wahrscheinlichkeit berechnen

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Bedeutung des Terms

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Ereignis im Sachzusammenhang

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Verhältnis der weißen und schwarzen Kugeln

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