Untersuchen Sie, für welche Werte von $aa$ die Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ , $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ und $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ eine Basis des ${\mathbb{R}}^3\backslash mathbb\{R\}^3$ bilden.

Für diese Teilaufgabe gilt $a=5a\; =\; 5$. Stellen Sie den Vektor $\vec{d}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -4\end{array}\right)\backslash vec\{d\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -4\; \backslash \backslash \; -2\; \backslash \backslash \; -4\; \backslash end\{pmatrix\}$ als Linearkombination von $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ , $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ und $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ dar.

Der Punkt $P(2\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)P(2|\; 0|\; 0)$ und die Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ legen die Ebene $FF$ fest. Ermitteln Sie eine Gleichung für $FF$ in Parameter- und Koordinatenform.

[ Mögliches Teilergebnis: $F:6x_1+4x_2+3x_3=12F:\; 6x\_1+4x\_2+3x\_3=12$ ]

Berechnen Sie die Schnittpunkte von $FF$ mit den Koordinatenachsen und veranschaulichen Sie die Ebene $FF$ in einem Koordinatensystem.

Gegeben ist die Geradenschar $g_a:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ a-1\\ 0\end{array}\right)g\_a:\backslash vec\{x\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash end\{pmatrix\}+\backslash mu\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; a-1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\}$ mit $a,\mu \in \mathbb{R}a,\; \mu \; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$. Bestimmen Sie die gegenseitige Lage von $g_{a}g\_a$ und $FF$ in Abhängigkeit von $aa$. Bei der Bearbeitung können auch die Ergebnisse der Teilaufgabe 1.a) verwendet werden.

Gegeben sind die Punkte $A(2\mathrm{\mid }\text{–}3\mathrm{\mid }0),B(2\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }\text{–}4),D(\text{–}4\mathrm{\mid }\text{–}2\mathrm{\mid }\text{–}4)A(2|\; –3|\; 0),\; B(2|\; 0|\; –4),\; D(–4|\; –2|\; –4)$ und $E(\text{–}4\mathrm{\mid }\text{–}5\mathrm{\mid }0)E(–4|\; –5|\; 0)$ in einem kartesischen Koordinatensystem des ${\mathbb{R}}^3\backslash mathbb\{R\}^3$.

1.) Zeigen Sie, dass das Viereck $DBAEDBAE$ ein Parallelogramm ist und begründen Sie, dass das Parallelogramm nicht in der Ebene $FF$ aus Teilaufgabe 1.c) liegt.

2.) Das Viereck $DD$*$BB$*$AA$*$EE$* geht durch Parallelverschiebung um den Vektor $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}-\frac{4}{3}\\ 4\\ 3\end{array}\right)\backslash vec\{u\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -\backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash end\{pmatrix\}$ aus dem Viereck $DBAEDBAE$ hervor. Werden die Punkte $DBAEDBAE$ und die Punkte $DD$*$BB$*$AA$*$EE$* gemäß der Skizze verbunden, entsteht ein Prisma. Überprüfen Sie rechnerisch, ob sich die Diagonalen $DADA$* und $BEBE$* des Prismas schneiden und geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes an.