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  1. 1

    Im 3 sind die Vektoren a=(230), b=(204) und ca=(1a10) mit a gegeben.

    1. Untersuchen Sie, für welche Werte von a die Vektoren a , b und c eine Basis des 3 bilden.

    2. Für diese Teilaufgabe gilt a=5. Stellen Sie den Vektor d=(424) als Linearkombination von a , b und c dar.

    3. Der Punkt P(2|0|0) und die Vektoren a und b legen die Ebene F fest. Ermitteln Sie eine Gleichung für F in Parameter- und Koordinatenform.

      [ Mögliches Teilergebnis: F:6x1+4x2+3x3=12 ]

    4. Berechnen Sie die Schnittpunkte von F mit den Koordinatenachsen und veranschaulichen Sie die Ebene F in einem Koordinatensystem.

    5. Gegeben ist die Geradenschar ga:x=(123)+μ(1a10) mit a,μ. Bestimmen Sie die gegenseitige Lage von ga und F in Abhängigkeit von a. Bei der Bearbeitung können auch die Ergebnisse der Teilaufgabe 1.a) verwendet werden.

    6. Gegeben sind die Punkte A(2|3|0),B(2|0|4),D(4|2|4) und E(4|5|0) in einem kartesischen Koordinatensystem des 3.

      1.) Zeigen Sie, dass das Viereck DBAE ein Parallelogramm ist und begründen Sie, dass das Parallelogramm nicht in der Ebene F aus Teilaufgabe 1.c) liegt.

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      2.) Das Viereck D*B*A*E* geht durch Parallelverschiebung um den Vektor u=(4343) aus dem Viereck DBAE hervor. Werden die Punkte DBAE und die Punkte D*B*A*E* gemäß der Skizze verbunden, entsteht ein Prisma. Überprüfen Sie rechnerisch, ob sich die Diagonalen DA* und BE* des Prismas schneiden und geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes an.

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  2. 2

    Die Sektoren S1, S2 und S3 eines Industrieunternehmens sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell verflochten. Für die laufende Produktionsperiode ergibt sich folgende Tabelle (alle Angaben in Mengeneinheiten ME):

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    1. Ermitteln Sie die Werte von a und b und geben Sie deren Bedeutung im Sinne der vorliegenden Thematik an.

    2. In der nächsten Produktionsperiode müssen 27 ME als Eilauftrag von Sektor S1 an den Markt geliefert werden. Die Sektoren S2 und S3 liefern deswegen nichts an den Markt. Ermitteln Sie die zu dieser Produktionsperiode gehörenden Produktionszahlen, wenn die Inputmatrix mit A=(0,40,60,20,30,10,050,30,20,4)gegeben ist.

    3. Auf lange Sicht ist eine Verdreifachung der Gesamtproduktion der Sektoren S1 und S3gegenüber der Situation aus 2) geplant. Bestimmen Sie, in welchem Intervall sich dann die möglichen Produktionszahlen von S2 bewegen.


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