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🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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  1. 1

    Im R3\mathbb{R}^3 sind die Vektoren a⃗=(2−30)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2\\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}, b⃗=(20−4)\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} und ca⃗=(1a−10)\vec{c_a} = \begin{pmatrix} 1 \\ a-1 \\ 0 \end{pmatrix} mit a∈Ra\in\mathbb{R} gegeben.

    1. Untersuchen Sie, fĂŒr welche Werte von aa die Vektoren a⃗\vec{a} , b⃗\vec{b} und c⃗\vec{c} eine Basis des R3\mathbb{R}^3 bilden.

    2. FĂŒr diese Teilaufgabe gilt a=5a = 5. Stellen Sie den Vektor d⃗=(−4−2−4)\vec{d} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} als Linearkombination von a⃗\vec{a} , b⃗\vec{b} und c⃗\vec{c} dar.

    3. Der Punkt P(2∣0∣0)P(2| 0| 0) und die Vektoren a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} legen die Ebene FF fest. Ermitteln Sie eine Gleichung fĂŒr FF in Parameter- und Koordinatenform.

      [ Mögliches Teilergebnis: F:6x1+4x2+3x3=12F: 6x_1+4x_2+3x_3=12 ]

    4. Berechnen Sie die Schnittpunkte von FF mit den Koordinatenachsen und veranschaulichen Sie die Ebene FF in einem Koordinatensystem.

    5. Gegeben ist die Geradenschar ga:x⃗=(123)+ÎŒ(1a−10)g_a:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} 1 \\ a-1 \\ 0 \end{pmatrix} mit a,Ό∈Ra, ÎŒ \in \mathbb{R}. Bestimmen Sie die gegenseitige Lage von gag_a und FF in AbhĂ€ngigkeit von aa. Bei der Bearbeitung können auch die Ergebnisse der Teilaufgabe 1.a) verwendet werden.

    6. Gegeben sind die Punkte A(2∣–3∣0),B(2∣0∣–4),D(–4∣–2∣–4)A(2| –3| 0), B(2| 0| –4), D(–4| –2| –4) und E(–4∣–5∣0)E(–4| –5| 0) in einem kartesischen Koordinatensystem des R3\mathbb{R}^3.

      1.) Zeigen Sie, dass das Viereck DBAEDBAE ein Parallelogramm ist und begrĂŒnden Sie, dass das Parallelogramm nicht in der Ebene FF aus Teilaufgabe 1.c) liegt.

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      2.) Das Viereck DD*BB*AA*EE* geht durch Parallelverschiebung um den Vektor u⃗=(−4343)\vec{u} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{3} \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} aus dem Viereck DBAEDBAE hervor. Werden die Punkte DBAEDBAE und die Punkte DD*BB*AA*EE* gemĂ€ĂŸ der Skizze verbunden, entsteht ein Prisma. ÜberprĂŒfen Sie rechnerisch, ob sich die Diagonalen DADA* und BEBE* des Prismas schneiden und geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes an.

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  2. 2

    Die Sektoren S1S_1, S2S_2 und S3S_3 eines Industrieunternehmens sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell verflochten. FĂŒr die laufende Produktionsperiode ergibt sich folgende Tabelle (alle Angaben in Mengeneinheiten ME):

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    1. Ermitteln Sie die Werte von aa und bb und geben Sie deren Bedeutung im Sinne der vorliegenden Thematik an.

    2. In der nĂ€chsten Produktionsperiode mĂŒssen 27 ME als Eilauftrag von Sektor S1S_1 an den Markt geliefert werden. Die Sektoren S2S_2 und S3S_3 liefern deswegen nichts an den Markt. Ermitteln Sie die zu dieser Produktionsperiode gehörenden Produktionszahlen, wenn die Inputmatrix mit A=(0,40,60,20,30,10,050,30,20,4)A = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}1 & 0{,}05 \\ 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}gegeben ist.

    3. Auf lange Sicht ist eine Verdreifachung der Gesamtproduktion der Sektoren S1S_1 und S3S_3gegenĂŒber der Situation aus 2) geplant. Bestimmen Sie, in welchem Intervall sich dann die möglichen Produktionszahlen von S2S_2 bewegen.


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