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Im 3 sind die Vektoren a=(230), b=(204) und ca=(1a10) mit a gegeben.

  1. Untersuchen Sie, für welche Werte von a die Vektoren a , b und c eine Basis des 3 bilden.

  2. Für diese Teilaufgabe gilt a=5. Stellen Sie den Vektor d=(424) als Linearkombination von a , b und c dar.

  3. Der Punkt P(2|0|0) und die Vektoren a und b legen die Ebene F fest. Ermitteln Sie eine Gleichung für F in Parameter- und Koordinatenform.

    [ Mögliches Teilergebnis: F:6x1+4x2+3x3=12 ]

  4. Berechnen Sie die Schnittpunkte von F mit den Koordinatenachsen und veranschaulichen Sie die Ebene F in einem Koordinatensystem.

  5. Gegeben ist die Geradenschar ga:x=(123)+μ(1a10) mit a,μ. Bestimmen Sie die gegenseitige Lage von ga und F in Abhängigkeit von a. Bei der Bearbeitung können auch die Ergebnisse der Teilaufgabe 1.a) verwendet werden.

  6. Gegeben sind die Punkte A(2|3|0),B(2|0|4),D(4|2|4) und E(4|5|0) in einem kartesischen Koordinatensystem des 3.

    1.) Zeigen Sie, dass das Viereck DBAE ein Parallelogramm ist und begründen Sie, dass das Parallelogramm nicht in der Ebene F aus Teilaufgabe 1.c) liegt.

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    2.) Das Viereck D*B*A*E* geht durch Parallelverschiebung um den Vektor u=(4343) aus dem Viereck DBAE hervor. Werden die Punkte DBAE und die Punkte D*B*A*E* gemäß der Skizze verbunden, entsteht ein Prisma. Überprüfen Sie rechnerisch, ob sich die Diagonalen DA* und BE* des Prismas schneiden und geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes an.

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