Skizziere das Rechteck in der Abbildung

Anmerkung: Zusätzlich (in der Aufgabenstellung nicht verlangt) wurde auch die Tangente $t_f$ eingezeichnet.

Zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von $𝑎$ ist

Für den Flächeninhalt des Rechtecks wird die Gleichung der Tangente $h$ benötigt.

Gegeben ist $f(𝑥)=x^3-2a{x}^2+a^{2}x$.

Für die Tangentengleichung $h$ muss $f^{\prime }(0)$ berechnet werden.

$f^{\prime }(x)=3x^2-4ax+a^2\Rightarrow f^{\prime }(0)=a^2$

Die Steigung $m_{t_f}$ der Tangente $t_f$ im Koordinatenursprung ist gleich $a^2$.

Da $h$ senkrecht zur Tangente $t_f$ an ${𝐺}_{𝑓}$ im Koordinatenursprung steht, gilt:

$m_h⟂m_{t_f}\Rightarrow m_h\cdot m_{t_f}=-1\Rightarrow m_h={\displaystyle \frac{-1}{a^2}}$

Dann gilt für die Tangentengleichung $h$:

$h:y=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot x$

Der Berührpunkt von $G_f$ und der x-Achse ist der Punkt $(a|0)$.

Die Länge der Grundseite $g$ des Rechtecks ist also gleich $a$.

Die Höhe des Rechtecks $h$ ist $|h(a)|$.

$h(a)=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot a=-{\displaystyle \frac{1}{a}}\Rightarrow |h(a)|={\displaystyle \frac{1}{a}}$

Dann gilt für den Flächeninhalt des Rechtecks:

$A=g\cdot h=a\cdot {\displaystyle \frac{1}{a}}=1$

Der Flächeninhalt des Rechtecks ist unabhängig von $𝑎$.