Skizziere das Rechteck in der Abbildung

Anmerkung: Zusätzlich (in der Aufgabenstellung nicht verlangt) wurde auch die Tangente $t_{f}t\_f$ eingezeichnet.

Zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von $𝑎𝑎$ ist

Für den Flächeninhalt des Rechtecks wird die Gleichung der Tangente $hh$ benötigt.

Gegeben ist $f(𝑥)=x^3-2a{x}^2+a^{2}xf(𝑥)\; =\; x^3\; -\; 2ax^2\; +\; a^2x$.

Für die Tangentengleichung $hh$ muss $f^{\mathrm{\prime }}(0)f\text{'}(0)$ berechnet werden.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4ax+a^2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(0)=a^{2}f\text{'}(x)=3x^2-4ax+a^2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f\text{'}(0)=a^2$

Die Steigung $m_{t_f}m\_\{t\_f\}$ der Tangente $t_{f}t\_f$ im Koordinatenursprung ist gleich $a^{2}a^2$.

Da $hh$ senkrecht zur Tangente $t_{f}t\_f$ an ${𝐺}_{𝑓}𝐺\_𝑓$ im Koordinatenursprung steht, gilt:

$m_h\perp m_{t_f}\Rightarrow m_h\cdot m_{t_f}=-1\Rightarrow m_h={\displaystyle \frac{-1}{a^2}}m\_h\backslash perp\; m\_\{t\_f\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;m\_h\backslash cdot\; m\_\{t\_f\}=-1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;m\_h=\backslash dfrac\{-1\}\{a^2\}$

Dann gilt für die Tangentengleichung $hh$:

$h:y=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot xh:\; y=-\backslash dfrac\{1\}\{a^2\}\backslash cdot\; x$

Der Berührpunkt von $G_{f}G\_f$ und der x-Achse ist der Punkt $(a\mathrm{\mid }0)(a|0)$.

Die Länge der Grundseite $gg$ des Rechtecks ist also gleich $aa$.

Die Höhe des Rechtecks $hh$ ist $\mathrm{\mid }h(a)\mathrm{\mid }|h(a)|$.

$h(a)=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot a=-{\displaystyle \frac{1}{a}}\Rightarrow \mathrm{\mid }h(a)\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{a}}h(a)=-\backslash dfrac\{1\}\{a^2\}\backslash cdot\; a=-\backslash dfrac\{1\}\{a\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;|h(a)|=\backslash dfrac\{1\}\{a\}$

Dann gilt für den Flächeninhalt des Rechtecks:

$A=g\cdot h=a\cdot {\displaystyle \frac{1}{a}}=1A=g\backslash cdot\; h=a\backslash cdot\backslash dfrac\{1\}\{a\}=1$

Der Flächeninhalt des Rechtecks ist unabhängig von $𝑎𝑎$.