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Wählen Sie von den Aufgaben Q1 bis Q6 genau zwei zur Bearbeitung aus.

  1. 1

    Aufgabe P1

    Gegeben ist die in definierte Funktion f mit f(x)=(1x2)ex

    Eine Stammfunktion zu f wird mit F

    bezeichnet.

    Abb. 1

    Abb. 1

    1. Zeigen Sie rechnerisch, dass f genau zwei Nullstellen besitzt. [2BE]

    2. Deuten Sie die Aussage F(2,5)F(0)0 in Bezug auf den Graphen von f geometrisch. [3BE]

  2. 2

    Aufgabe P2

    Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen fa mit fa(x)=ax3+ax2 und a+.

    1. Geben Sie den Wert von a an, sodass der Punkt (1|6) auf dem Graphen von fa liegt. [1 BE]

    2. Berechnen Sie in Abhängigkeit von a den Inhalt der Fläche, die der Graph von fa mit der

      x-Achse einschließt. [4 BE]

  3. 3

    Aufgabe P3

    Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder gelb

    eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht.

    Die binomialverteilte Zufallsgröße X beschreibt, wie oft dabei die Farbe „Blau“, die

    binomialverteilte Zufallsgröße Y, wie oft dabei die Farbe „Gelb“ erzielt wird.

    Abb. 2

    Abb. 2

    1. Begründen Sie, dass X und Y die gleiche Standardabweichung haben. [2 BE]

    2. Der Erwartungswert von X ist ganzzahlig. Die Abbildung (Abb. 2) zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Bestimmen Sie die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads. [3 BE]

  4. 4

    Aufgabe P4

    Die Punkte 𝐵(4|3|12) und 𝐶(2|4|10) sind

    Eckpunkte eines Parallelogramms 𝐴𝐵𝐶𝐷, dessen Diagonalen sich im Punkt 𝑀(3|2|1) schneiden.

    Bild
    1. Verschiebt man jeden der Punkte 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 und 𝑀 parallel zur 𝑥3-Achse in die

      x1x2-Ebene, so ergeben sich die Punkte A,B,C,D bzw. M. Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt M schneiden. Zeichnen Sie das Viereck ABCD und M in die Abbildung ein. [3 BE]

    2. Berechnen Sie den Wert des Skalarprodukts CMCB=(129)(212) und beurteilen Sie, ob der Winkel zwischen den Vektoren CM und CB kleiner als 90 ist.

      [2 BE]

  5. 5

    Aufgabe Q1

    Gegeben ist für jede positive reelle Zahl 𝑎 die in definierte Funktion fa mit fa(x)=ax2 .

    Die Abbildung zeigt den Graphen von f12sowie die Tangente 𝑡 an den Graphen von f12

    im Punkt (4|f12(4))

    Bild
    1. Geben Sie anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente 𝑡 an. [1 BE]

    2. Weisen Sie nach, dass für jeden Wert u die Tangente an den Graphen von fa im Punkt (u|fa(u)) die 𝑦-Achse im Punkt (0|𝑓𝑎(𝑢)) schneidet. [4 BE]

  6. 6

    Aufgabe Q2

    Für eine Zahl 𝑎>0 zeigt die Abbildung den Graphen 𝐺𝑓 der in definierten Funktion f mit f(𝑥)=x32ax2+a2x sowie die Gerade h. 𝐺𝑓 und schneiden sich im Koordinaten-ursprung und verläuft senkrecht zur Tangente an 𝐺𝑓 im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich 𝐺𝑓 und die x-Achse im Punkt (𝑎|0).

    Bild

    Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

    • Die beiden gemeinsamen Punkte von 𝐺𝑓 und der x-Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.

    • Eine Diagonale liegt auf der Gerade h.

    Skizzieren Sie das Rechteck in der Abbildung und zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von 𝑎 ist. [5 BE]

  7. 7

    Aufgabe Q3

    Gegeben ist der Graph, der die kumulierten

    Wahrscheinlichkeiten 𝑃(𝑋𝑘) für eine

    normalverteilte Zufallsgröße 𝑋 darstellt.

    Bild
    1. Begründen Sie, dass gilt: μ=20. [1 BE]

    2. Der Punkt S liegt auf dem Graphen und hat die Koordinaten 𝑆(16|0,16).

      Bestimmen Sie einen Näherungswert für P(μ1,5σ𝑋μ+1,5σ). [4 BE]

  8. 8

    Aufgabe Q4

    Betrachtet wird ein Tetraeder, bei dem die Seiten mit den Zahlen 1 bis 4 durchnummeriert sind. Beim Werfen des Tetraeders werden alle Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt. Das Tetraeder wird viermal geworfen. Die Zufallsgröße 𝑋 beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen die Zahl 1 erzielt wird. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von 𝑋 ist in Abbildung 1 dargestellt.

    Bild
    1. Die Zufallsgröße 𝑌 gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen die Zahl 1 nicht erzielt wird.

      Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von 𝑌 in Abbildung 2 dar. [2 BE]

    2. Bei einem anderen Zufallsexperiment werden ein roter und ein grüner Würfel, bei denen die Seiten jeweils mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind, viermal gleichzeitig geworfen. Geben Sie zu diesem Zufallsexperiment eine Zufallsgröße 𝑍 an, die die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat wie 𝑋, und begründen Sie Ihre Angabe. [3 BE]

  9. 9

    Aufgabe Q5

    Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung).

    Die Eckpunkte A,B,C und D des Oktaeders liegen in der Ebene H mit der Gleichung 2𝑥1+𝑥2+2𝑥3=6.

    Es gilt: 𝐴(1|2|1) und 𝐶(3|6|9).

    Bild
    1. Weisen Sie nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt. [2 BE]

    2. Bestimmen Sie die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in 𝐻 liegen. [3 BE]

  10. 10

    Aufgabe Q6

    Die Abbildung zeigt die Punkte A,B und P. Die Ebene, in der die drei Punkte liegen, wird durch die Zeichenebene dargestellt.

    Betrachtet werden Geraden 𝑔,𝑔 und h, für die gilt:

    • g verläuft durch A, g durch B und h durch P.

    • g und g schneiden sich in P.

    • Wird g an h gespiegelt, so entsteht g.

    Zeichnen Sie die Gerade g, die Gerade g und eine Gerade in die Abbildung ein.

    Geben Sie einen Term an, mit dem aus den gegebenen Punkten 𝐴, 𝐵 und 𝑃 der Ortsvektor eines weiteren Punktes von bestimmt werden kann. [5 BE]

    Bild

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