Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe Q1

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl 𝑎 die in $R$ definierte Funktion $f_{a}$ mit $f_a(x) =a \cdot x^2$ .

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente 𝑡 an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$

im Punkt $\left({4\Big\vert f_{\frac{1}{2}}(4)}\right)$

Geben Sie anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente 𝑡 an. [1 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gleichung der Tangente t
Tangente an Graph
$t: y=m\cdot x+b$
Der y-Achsenabschnitt ist $b = - 8$ (Schnitt von $t$ mit der y-Achse).
Mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck erhält man $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{16}{4}=4$ .
Also ist $t: y=4\cdot x-8$ .
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Es gilt $t: y=m\cdot x+b$ .
Lies den y-Achsenabschnitt $b$ ab.
Zeichne ein passendes Steigungsdreieck ein und bestimme $m$ .
Weisen Sie nach, dass für jeden Wert $u \in \R$ die Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $(u ∣ f_{a} (u))$ die 𝑦-Achse im Punkt $(0 ∣ - 𝑓_{𝑎} (𝑢))$ schneidet. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $(u ∣ f_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 ∣ - f_{a} (u))$
Es ist $f_a(x)=ax^2 \;\Rightarrow\; f_a'(x)=2ax$ und der Punkt ist $(u ∣ f_{a} (u))$ .
$\Rightarrow\; f_a'(u)=2au=m_T$
Weiterhin gilt für die Tangente:
$t: y=m_T\cdot x+b=2au\cdot x+b$
Setze die Koordinaten von $(u ∣ f_{a} (u))$ in $t: y=2au\cdot x+b$ ein:
$t: f_a(u)=2au\cdot u+b\;\Rightarrow\;b=f_a(u)-2au^2$
Mit $f_{a} (u) = a u^{2}$ folgt dann für $b = a u^{2} - 2 a u^{2} = - a u^{2}$
Damit erhält man für die Tangentengleichung im Punkt $(u ∣ f_{a} (u))$ :
$\displaystyle t: y=2au\cdot x-au^2$
Für den Schnittpunkt der Tangente $t$ mit der y-Achse setze $x = 0$ in $t$ ein:
$t: y=2au\cdot x-au^2$ mit $x = 0$ folgt $y = - a u^{2} = - f_{a} (u)$
Also ist:
$\displaystyle S_y(0|-f_a(u))$
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Berechne die Gleichung der Tangente für $f_{a} (x)$ im Punkt $(u ∣ f_{a} (u))$ .
Setze $x = 0$ in die Tangentengleichung ein, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bekommen.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

Aufgabe Q1

Gleichung der Tangente t

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Tangente an den Graphen von faf_afa​ im Punkt (u∣fa(u))(u|f_a(u))(u∣fa​(u)) schneidet die y-Achse im Punkt (0∣−fa(u))(0|-f_a(u))(0∣−fa​(u))

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Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $(u ∣ f_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 ∣ - f_{a} (u))$