Setze den Punkt $(1|6)$ in $f_a(x)$ ein:

$6=a\cdot 1^3+a\cdot 1^2=2\cdot a\Rightarrow a=3$

Für $a=3$ liegt der Punkt $(1|6)$ auf $f_3(x)$.

Für die Flächenberechnung werden die Nullstellen der Funktion benötigt:

$f_a(x)=0\Rightarrow a{x}^3+a{x}^2=0\Rightarrow a{x}^2(x+1)=0$

Wende den Satz vom Nullprodukt an:

$x_{\mathrm{1,2}}=0$ und $x_3=-1$

Demnach muss für die Flächenberechnung das Integral von $-1$ bis $0$ berechnet werden:

$$A(a)={\displaystyle {\int }_{-1}^{0}a{x}^3+a{x}^2\mathrm{d}x={[{\displaystyle \frac{a}{4}}{x}^4+{\displaystyle \frac{a}{3}}{x}^3]}_{-1}^0=0-({\displaystyle \frac{a}{4}}\cdot (-1{)}^4+{\displaystyle \frac{a}{3}}\cdot (-1{)}^3)}$$

$A(a)={\displaystyle \frac{a}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{4}}={\displaystyle \frac{a}{12}}$