Setze den Punkt $(1\mathrm{\mid }6)(1|6)$ in $f_a(x)f\_a(x)$ ein:

$6=a\cdot 1^3+a\cdot 1^2=2\cdot a\Rightarrow a=36=a\backslash cdot\; 1^3+a\backslash cdot\; 1^2=2\backslash cdot\; a\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=3$

Für $a=3a=3$ liegt der Punkt $(1\mathrm{\mid }6)(1|6)$ auf $f_3(x)f\_3(x)$.

Für die Flächenberechnung werden die Nullstellen der Funktion benötigt:

$f_a(x)=0\Rightarrow a{x}^3+a{x}^2=0\Rightarrow a{x}^2(x+1)=0f\_a(x)=0\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;ax^3+ax^2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;ax^2(x+1)=0$

Wende den Satz vom Nullprodukt an:

$x_{\mathrm{1,2}}=0x\_\{1\{,\}2\}=0$ und $x_3=-1x\_3=-1$

Demnach muss für die Flächenberechnung das Integral von $-1-1$ bis $00$ berechnet werden:

$A(a)={\displaystyle {\int }_{-1}^{0}a{x}^3+a{x}^2\mathrm{d}x={[\frac{a}{4}{x}^4+\frac{a}{3}{x}^3]}_{-1}^0=0-(\frac{a}{4}\cdot (-1{)}^4+\frac{a}{3}\cdot (-1{)}^3)}A(a)=\backslash displaystyle\backslash int\_\{-1\}^0ax^3+ax^2\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=\backslash left[\backslash dfrac\{a\}\{4\}x^4+\backslash dfrac\{a\}\{3\}x^3\backslash right]\_\{-1\}^0=0-\backslash left(\backslash dfrac\{a\}\{4\}\backslash cdot(-1)^4+\backslash dfrac\{a\}\{3\}\backslash cdot(-1)^3\backslash right)$

$A(a)={\displaystyle \frac{a}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{4}}={\displaystyle \frac{a}{12}}A(a)=\backslash dfrac\{a\}\{3\}-\backslash dfrac\{a\}\{4\}=\backslash dfrac\{a\}\{12\}$