Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1A

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit

$f_a(x) =\frac{1}{a^3}x^3 −\frac1ax^2 + x$ und $a\in\mathbb{R}^+$ .

Skizzieren Sie den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1.
Geben Sie die Extrempunkte von $f_{4}$ an. [5BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Skizziere den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1
$f_4(x)=\dfrac{1}{64}x^3-\dfrac{1}{4}x^2+x$
Gib die Extrempunkte von $f_{4}$ an
Lasse Dir den Graphen von $f_{4} (x)$ anzeigen und bestimme den Tiefpunkt.
$\Rightarrow\;TP(8|0)$
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $(8 ∣ 0)$ .
Für den Hochpunkt folgt: $x\approx2{,}66666...$ und $y\approx1{,}1851...$
$\Rightarrow\;HP\left(2{,}7|1{,}2\right)$
Der Hochpunkt hat etwa die Koordinaten $(2,7 ∣ 1,2)$ .
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Teil 1
Skizziere den Graphen von $f_{4} (x)$ .
Teil 2
Lasse Dir den Graphen von $f_{4} (x)$ anzeigen und bestimme den Tiefpunkt und den Hochpunkt.
Ermitteln Sie die Koordinaten der beiden gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$ .
Die Graphen von $f_{1}$ und $f_{3}$ haben die beiden gemeinsamen Punkte $S_{1} (0 ∣ 0)$ und $S_{2} (s_{x} ∣ s_{y})$ mit $s_x \approx 0{,}69$ und $s_y \approx 0{,}54$ . Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$
$f_{1}(x)=x^3-x^2+x$
Lasse Dir die Graphen von $f_{1} (x)$ und $f_{4} (x)$ anzeigen und bestimme ihre Schnittpunkte:
Man erhält die beiden Lösungen $x_{1} = 0$ und $f_{1} (0) = f_{4} (0) = 0$ , sowie
$x_2\approx0{,}761904...$ . und $f_1\left(0{,}761904...\right)=f_4\left(0{,}761904...\right)\approx0{,}623690...$
$\Rightarrow\;P_1(0|0)$ und $P_2(0{,}76|0{,}62)$
Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$ sind $(0 ∣ 0)$ und etwa $(0,76 ∣ 0,62)$ .
Die Graphen von $f_{1}$ und $f_{3}$ haben die beiden gemeinsamen Punkte $S_{1} (0 ∣ 0)$ und $S_{2} (s_{x} ∣ s_{y})$ mit $s_x \approx 0{,}69$ und $s_y \approx 0{,}54$ . Weise nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt
Es gilt unabhängig von $a$ :
$f_{a} (0) = 0$
Wegen $s_x \neq x_2$ gibt es nur den Punkt $(0 ∣ 0)$ der auf allen Graphen der Funktionenschar liegt.
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Teil 1
Lasse Dir die Graphen von $f_{1} (x)$ und $f_{4} (x)$ anzeigen und bestimme ihre Schnittpunkte.
Teil 2
Welcher Funktionswert ist unabhängig von $a$ ?
Vergleiche $s_{x}$ mit $x_{2}$ .
Die Gleichung $f_{a} (x) = 0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen $\frac{a^2−\sqrt{a^3⋅(a−4)}}{2}$ und $0$ und $\frac{a^2+\sqrt{a^3⋅(a−4)}}{2}$ .
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diskriminante
Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme
Es gilt: $a\in\mathbb{R}^+$
Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist der Wert der Diskriminante $D=a^3\cdot(a-4)$ in den beiden Termen $\frac{a^2\pm\sqrt{a^3⋅(a−4)}}{2}$ .
Für $a > 4$ ist $D>0\;\Rightarrow\; G_{f_a}$ hat $3$ Nullstellen.
Für $a = 4$ ist $D=0\;\Rightarrow\; G_{f_a}$ hat $2$ Nullstellen.
Für $a < 4$ ist $D<0\;\Rightarrow\; G_{f_a}$ hat $1$ Nullstelle.
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Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist der Wert der Diskriminante $D=a^3\cdot(a-4)$

Der Graph jeder Funktion $f_{a}$ hat genau einen Wendepunkt $(\frac {a^2}{3}|y_a)$ .

Bestimmen Sie den Wert von $𝑎$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate. [5 BE]

Für ein Umweltschutzprojekt nehmen zwei Unterwasserdrohnen $U 1$ und $U 2$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vor. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d.h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten werden für $0 \le t \le 30$ durch die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschrieben, wobei gilt:
$v(t) = −\frac{6}{25}t \cdot (4t − 25) ⋅ e^{−\frac15\cdot t}$ und $w(t) =\frac{1}{216}t^3 −\dfrac{1}{6}t^2 + t$
Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten. $v (t)$ ist die
Geschwindigkeit von $U 1$ in Meter pro Minute und $w (t)$ ist die Geschwindigkeit von $U 2$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und
interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$
Betrachte den Graphen von $v (t)$ und lasse Dir das Minimum anzeigen.
Der Tiefpunkt ist $T P (14 ∣ - 6,3)$ .
Die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ sind etwa $(14 ∣ - 6,3)$ .
Interpretiere die Werte im Sachkontext
Etwa $14$ Minuten nach Beobachtungsbeginn beträgt die größte Sinkgeschwindigkeit von $U 1$ etwa $6{,}3 \;\dfrac{\text{m}}{\text{min}}$ .
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Betrachte den Graphen von $v (t)$ und lasse Dir das Minimum anzeigen.
Zu der angegebenen Zeit nach Beobachtungsbeginn hat $U 1$ die größte Sinkgeschwindigkeit.
Mit $v^{'}$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet. Innerhalb eines bestimmten
Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$
Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die momentane Änderungsrate - Ganz mathematisch!
Interpretiere die Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum
Wegen $v (t) < 0$ sinkt $U 1$ . Wegen $v^{'} (t) > 0$ ist die momentane Änderungsrate
der Geschwindigkeit von $U 1$ positiv. Also sinkt $U 1$ in diesem Zeitraum immer
langsamer.
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Was bedeutet $v (t) < 0$ und was bedeutet $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ ?
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche
des Sees $10$ Meter.
Ermitteln Sie den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Integral
Ermittle den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn
$v(t) = −\frac{6}{25}t \cdot (4t − 25) ⋅ e^{−\frac15\cdot t}$
Betrachte den Term $4 t - 25$ .
Für $t>\dfrac{25}{4}=6{,}25$ ist der Term größer null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) < 0$ .
Für $t < 6,25$ ist der Term kleiner null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) > 0$ .
Somit gilt: $v (t) > 0$ für $0 < t < 6,25$ und $v (t) < 0$ für $6,25 < t < 30$ .
$U 1$ hat somit $6,25$ Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand
zur Wasseroberfläche.
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter. Dann berechnet sich der Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern:
Der Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn beträgt rund $31{,}7\;\text{m}$ .
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Untersuche, in welchem Zeitraum $v (t)$ größer bzw. kleiner $0$ ist. Zur Zeit $t_{x}$ , bei der sich das Vorzeichen von $v (t)$ ändert, hat $U 1$ den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.
Der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche des Sees beträgt $10$ Meter.
Zu Beobachtungsbeginn: $10+\displaystyle\int_0^{t_x}v(t)\;\mathrm{d}t$
$U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ und steigt langsamer als $U_{1}$ .
Der Graph in Abbildung 2 zeigt für die ersten Minuten des Beobachtungszeitraums die zeitliche Entwicklung des vertikalen Abstands der beiden Unterwasserdrohnen zueinander.
Im dargestellten Bereich hat der Graph nur einen Hochpunkt $H (t_{H} ∣ y_{H})$ .
Erläutern Sie, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln
kann, und geben Sie einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Erläutere, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann
Bei der t-Koordinate $t_{s}$ des einzigen Schnittpunkts der Graphen von $v$ und $w$ innerhalb der ersten Minuten wechselt $w (t) < v (t)$ zu $v (t) < w (t)$ . Somit
nimmt der vertikale Abstand von $U 1$ und $U 2$ bis zum Zeitpunkt $t_{s}$ zu und danach
wieder ab. Folglich ist $t_{H} = t_{s}$ .
Gib einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an
$U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ .
$\Rightarrow\;y_H = 5 + \displaystyle\int_0^{t_s}(v(t)-w(t))\;\mathrm{d}t$
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Innerhalb der ersten Minuten gibt es einen Schnittpunkt der Graphen von $v$ und $w$ .
Was passiert zu diesem Zeitpunkt?
Beachte: $U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ .

$\displaystyle f_a(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{a^3}x^3 −\frac1ax^2 + x$
	↓	Setze $x=\dfrac{a^2}{3}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{a^3}\left(\dfrac{a^2}{3}\right)^3 −\dfrac1a\left(\dfrac{a^2}{3}\right)^2 + \dfrac{a^2}{3}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{a^3}\cdot\dfrac{a^6}{27}−\dfrac1a\cdot\dfrac{a^4}{9} + \dfrac{a^2}{3}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{a^3}{27}-\dfrac{a^3}{9}+\dfrac{a^2}{3}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2}{27} a^3+\dfrac{1}{3}\cdot a^2$

Aufgabe 1A

Skizziere den Graphen von f4f_4f4​ in Abbildung 1

Gib die Extrempunkte von f4f_4f4​ an

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Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von f1f_1f1​ und f4f_4f4​

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Gib die Anzahl der Nullstellen von faf_afa​ in Abhängigkeit von 𝑎𝑎a an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme

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Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von vvv

Interpretiere die Werte im Sachkontext

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Interpretiere die Aussage: v(t)<0v(t) < 0v(t)<0 und v′(t)>0v'(t) > 0v′(t)>0 in Bezug auf die Bewegung von U1U1U1 in diesem Zeitraum

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Ermittle den Abstand von U1U1U1 zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn

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Erläutere, wie man tHt_HtH​ anhand der Graphen von vvv und www ermitteln kann

Gib einen Term zur Berechnung von yHy_HyH​ an

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Skizziere den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1

Gib die Extrempunkte von $f_{4}$ an

Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$

Interpretiere die Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum

Ermittle den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn

Erläutere, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann

Gib einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an