Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter- und in Koordinatenform. [ mögliches Ergebnis: $E:x_1+2x_2++2x_3-2=0$ ]

Beschreiben Sie die besondere Lage der Ebenen $F_{a;b}$ im Koordinatensystem in Abhängigkeit von $a$ und $b$ .

Für $a=b=1$ ergibt sich die Ebene $F_{1;1}$ im Folgenden Ebene $F$ genannt.

(1) Die Ebenen $E$ und $F$ schneiden sich in der Geraden $h$. Bestimmen Sie eine Gleichung von $h$.

[Mögliches Ergebnis; $h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right)]$

(2) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ der Ebene $F$ mit der $x_2$-Achse. Zeichnen Sie die Ebenen $E$ und $F$ sowie die Schnittgerade $h$ in ein Koordinatensystem.

Ferner ist die Geradenschar $g_c:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 3\end{array}\right)+m\left(\begin{array}{c}c-1\\ 1+c\\ -c\end{array}\right)$ mit $c,m\in ℝ$ gegeben.

(1) Zeigen Sie, dass es einen Wert für $c$ gibt, für den die zugehörige Gerade $g_c$ echt parallel zur Geraden $h$ verläuft.

(2) Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g_c$ zur Ebene $E$ in Abhängigkeit von $c$.