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In einem kartesischen Koordinatensystem des R3\mathbb{R}^3 ist die Ebenenschar Fa;b:ax1+bx2+2x3−2=0F_{a;b}:ax_1+bx_2+2x_3-2=0 mit a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} gegeben. Die Ebene EE schneidet die x1x_1 -Achse bei x1=2x_1=2 und die anderen beiden Achsen bei x2=1x_2=1 und x3=1x_3=1.

  1. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene EE in Parameter- und in Koordinatenform. [ mögliches Ergebnis: E:x1+2x2++2x3−2=0 E: x_1+2x_2++2x_3-2=0 ]

  2. Beschreiben Sie die besondere Lage der Ebenen Fa;bF_{a;b} im Koordinatensystem in Abhängigkeit von aa und bb .

  3. Für a=b=1a=b=1 ergibt sich die Ebene F1;1F_{1;1} im Folgenden Ebene FF genannt.

    (1) Die Ebenen EE und FF schneiden sich in der Geraden hh. Bestimmen Sie eine Gleichung von hh.

    [Mögliches Ergebnis; h:x⃗=(200)+k(−201)]h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}]

    (2) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts SS der Ebene FF mit der x2x_2-Achse. Zeichnen Sie die Ebenen EE und FF sowie die Schnittgerade hh in ein Koordinatensystem.

  4. Ferner ist die Geradenschar gc:x⃗=(2−43)+m(c−11+c−c)g_c: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}+m \begin{pmatrix} c-1 \\ 1+c \\ -c \end{pmatrix} mit c,m∈Rc,m\in\mathbb{R} gegeben.

    (1) Zeigen Sie, dass es einen Wert für cc gibt, für den die zugehörige Gerade gcg_c echt parallel zur Geraden hh verläuft.

    (2) Untersuchen Sie die Lage der Geraden gcg_c zur Ebene EE in Abhängigkeit von cc.