B II

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1
In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}^3$ ist die Ebenenschar $F_{a;b}:ax_1+bx_2+2x_3-2=0$ mit $a,b\in\mathbb{R}$ gegeben. Die Ebene $E$ schneidet die $x_{1}$ -Achse bei $x_{1} = 2$ und die anderen beiden Achsen bei $x_{2} = 1$ und $x_{3} = 1$ .
1. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter- und in Koordinatenform. [ mögliches Ergebnis: $E : x_{1} + 2 x_{2} + + 2 x_{3} - 2 = 0$ ]
2. Beschreiben Sie die besondere Lage der Ebenen $F_{a;b}$ im Koordinatensystem in Abhängigkeit von $a$ und $b$ .
3. Für $a = b = 1$ ergibt sich die Ebene $F_{1;1}$ im Folgenden Ebene $F$ genannt.
  (1) Die Ebenen $E$ und $F$ schneiden sich in der Geraden $h$ . Bestimmen Sie eine Gleichung von $h$ .
  [Mögliches Ergebnis; $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}]$
  (2) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ der Ebene $F$ mit der $x_{2}$ -Achse. Zeichnen Sie die Ebenen $E$ und $F$ sowie die Schnittgerade $h$ in ein Koordinatensystem.
4. Ferner ist die Geradenschar $g_c: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}+m \begin{pmatrix} c-1 \\ 1+c \\ -c \end{pmatrix}$ mit $c,m\in\mathbb{R}$ gegeben.
  (1) Zeigen Sie, dass es einen Wert für $c$ gibt, für den die zugehörige Gerade $g_{c}$ echt parallel zur Geraden $h$ verläuft.
  (2) Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g_{c}$ zur Ebene $E$ in Abhängigkeit von $c$ .
2
Die Wirtschaftssektoren $U, V$ und $W$ sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell verbunden. Es gilt die Inputmatrix
$A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 & 0 \\ 0{,}25 & 0{,}05\cdot t & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}55 \end{pmatrix}$ mit $0\le t\le 20$ , $t\in \mathbb{R}$ .
1. Im 1. Quartal des Jahres produzierte Sektor $U$ $1000$ ME (Mengeneinheiten) seiner Waren und gab davon $4$ % an den Markt ab. Sektor $W$ produzierte $500$ ME und Sektor $V$ gab $10$ ME an den Markt ab. Bestimmen Sie die Gesamtproduktion von Sektor $V$ , die Marktabgabe von Sektor $W$ sowie den passenden Wert für $t$ .
2. Für die folgenden Teilaufgaben gilt $t = 11.$
  (1) Im folgenden Quartal ist die Marktabgabe $\vec{y} =\begin{pmatrix} 40 & 14 & 41 \end{pmatrix}^T$ geplant. Berechnen Sie die Produktionszahlen der drei Sektoren für dieses Quartal.
  (2) Im nächsten Quartal produziert Sektor $U$ $1120$ ME. Die Produktionsmengen von $V$ und $W$ verhalten sich wie $2 : 1$ . Jeder der drei Sektoren gibt mindestens $8$ ME an den Markt ab. Untersuchen Sie für die Sektoren $V$ und $W$ , in welchem Bereich sich die jeweiligen Produktionszahlen bewegen, und geben Sie den Bereich der Marktabgabe von Sektor $U$ an.

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