B II

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1
In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ ist die Ebenenschar $F_{a; b} : a x_{1} + b x_{2} + 2 x_{3} - 2 = 0$ mit $a, b \in ℝ$ gegeben. Die Ebene $E$ schneidet die $x_{1}$ -Achse bei $x_{1} = 2$ und die anderen beiden Achsen bei $x_{2} = 1$ und $x_{3} = 1$ .
1. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter- und in Koordinatenform. [ mögliches Ergebnis: $E : x_{1} + 2 x_{2} + + 2 x_{3} - 2 = 0$ ]
2. Beschreiben Sie die besondere Lage der Ebenen $F_{a; b}$ im Koordinatensystem in Abhängigkeit von $a$ und $b$ .
3. Für $a = b = 1$ ergibt sich die Ebene $F_{1; 1}$ im Folgenden Ebene $F$ genannt.
  (1) Die Ebenen $E$ und $F$ schneiden sich in der Geraden $h$ . Bestimmen Sie eine Gleichung von $h$ .
  [Mögliches Ergebnis; $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + k (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})]$
  (2) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ der Ebene $F$ mit der $x_{2}$ -Achse. Zeichnen Sie die Ebenen $E$ und $F$ sowie die Schnittgerade $h$ in ein Koordinatensystem.
4. Ferner ist die Geradenschar $g_{c} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 3 \end{array}) + m (\begin{array}{c} c - 1 \\ 1 + c \\ - c \end{array})$ mit $c, m \in ℝ$ gegeben.
  (1) Zeigen Sie, dass es einen Wert für $c$ gibt, für den die zugehörige Gerade $g_{c}$ echt parallel zur Geraden $h$ verläuft.
  (2) Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g_{c}$ zur Ebene $E$ in Abhängigkeit von $c$ .
2
Die Wirtschaftssektoren $U, V$ und $W$ sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell verbunden. Es gilt die Inputmatrix
$A = (\begin{array}{ccc} 0,8 & 0,2 & 0 \\ 0,25 & 0,05 \cdot t & 0,2 \\ 0,1 & 0,1 & 0,55 \end{array})$ mit $0 \leq t \leq 20$ , $t \in ℝ$ .
1. Im 1. Quartal des Jahres produzierte Sektor $U$ $1000$ ME (Mengeneinheiten) seiner Waren und gab davon $4$ % an den Markt ab. Sektor $W$ produzierte $500$ ME und Sektor $V$ gab $10$ ME an den Markt ab. Bestimmen Sie die Gesamtproduktion von Sektor $V$ , die Marktabgabe von Sektor $W$ sowie den passenden Wert für $t$ .
2. Für die folgenden Teilaufgaben gilt $t = 11.$
  (1) Im folgenden Quartal ist die Marktabgabe $\vec{y} = {(\begin{array}{ccc} 40 & 14 & 41 \end{array})}^{T}$ geplant. Berechnen Sie die Produktionszahlen der drei Sektoren für dieses Quartal.
  (2) Im nächsten Quartal produziert Sektor $U$ $1120$ ME. Die Produktionsmengen von $V$ und $W$ verhalten sich wie $2 : 1$ . Jeder der drei Sektoren gibt mindestens $8$ ME an den Markt ab. Untersuchen Sie für die Sektoren $V$ und $W$ , in welchem Bereich sich die jeweiligen Produktionszahlen bewegen, und geben Sie den Bereich der Marktabgabe von Sektor $U$ an.

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