Teil 2, Stochastik II - lernen mit Serlo!

Seit mehreren Jahren bezieht die Salonbetreiberin ihre Pflegeprodukte von einem Hersteller, der bekannt ist für die gute Qualität seiner Produkte und damit wirbt, dass höchstens $5$ % der Kunden und Kundinnen diese „nicht vertragen“. Aufgrund zahlreicher Kundenbeschwerden vermutet die Inhaberin, dass dieser Anteil gestiegen ist (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen, soll ein Signifikanztest auf einem Signifikanzniveau von $2$ % durchgeführt werden. Dazu werden insgesamt $100$ Kunden und Kundinnen, bei denen die Pflegeprodukte bereits verwendet wurden, befragt.

Geben Sie für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an. Berechnen Sie ferner den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Welche Entscheidung legt der Test nahe, wenn sich insgesamt $9$ Kunden und Kundinnen beschweren?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest

Definition der Testgröße und der Nullhypothese

Die Testgröße ist die Anzahl der "Treffer", das heißt in diesem Sachzusammenhang ist die Testgröße die Anzahl der Kunden, die sich beschweren, da sie das Produkt nicht vertragen.

Die Nullhypothese ist das Gegenteil der Gegenhypothese. In diesem Fall ist die Nullhypothese die Behauptung des Herstellers: "Höchstens $5 %$ der Kund*innen vertragen die Pflegeprodukte nicht."

Bestimmung des Ablehnungsbereichs

Hier nochmal eine kurze Zusammenfassung von allen bekannten Werten:

Nullhypothese	$H_0: \ \ p \, \leq \, 5 \%$
Gegenhypothese	$H_1: \ \ p \, > \, 5 \%$
Stichprobenlänge:	$100$
Signifikanzniveau	$2 %$

Wir gehen für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit $p$ den Wert $0,05$ hat, um die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art möglichst gering zu halten. Würde man einen höheren Wert für

$p$ wählen, würde das den Annahmebereich verkleinern (und den Ablehnungsbereich vergrößern) und somit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art erhöhen.

Der kritische Wert $k$ ist der Wert, ab dem die Zufallsgröße im Ablehnungsbereich liegt.

Da die Nullhypothese von einer niedrigeren Trefferwahrscheinlichkeit ausgeht als die Gegenhypothese, muss der Annahmebereich von $0$ bis $k - 1$ gehen und der Ablehnungsbereich von $k$ bis $100$ .

Der Annahme- bzw. Ablehnungsbereich bestimmt die Größe der Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. bzw. 2. Art.

Das Signifikanzniveau, das heißt die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art, beträgt $2 %$ . Dabei soll aber auch der Fehler 2. Art möglichst gering sein, das heißt man muss die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art so groß wie möglich, aber trotzdem unter dem Signifikanzniveau ansetzen.

Um den Ablehnungsbereich zu bestimmen, muss man den Wert für $k$ finden, bei dem die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße größer oder gleich $k$ ist, höchstens so groß ist wie das Signifikanzniveau.

$\displaystyle P(X \geq k)$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}02$
$\displaystyle \sum_{x=k}^{100} {100 \choose x} \cdot 0{,}05^x \cdot 0{,}95^{100-x}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}02$

Jetzt kann man entweder das Tafelwerk oder den Taschenrechner verwenden, um den Wert für $k$ herauszufinden. Dabei muss man darauf achten, dass es sich hier um eine kumulative Verteilung handelt.

Annahmebereich:	$A = \{0, 1, 2, ...,8 ,9 , 10 \}$
Ablehnungsbereich:	$\overline{A} = \{11, 12, 13, ..., 98, 99, 100\}$

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Berechnen Sie für diesen Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn tatsächlich $10$ % der Kunden und Kundinnen die Pflegeprodukte des Herstellers „nicht vertragen“. Deuten Sie die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art im Sachzusammenhang.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fehler erster Art und Fehler zweiter Art
Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art
Der Fehler 2. Art passiert dann, wenn die Nullhypothese falsch ist, aber fälschlicherweise als richtig angenommen wird.
Wenn tatsächlich $10 %$ der Kund*innen die Produkte nicht vertragen, ist die Nullhypothese falsch.
Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass sie trotzdem als richtig angenommen wird, muss man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Zufallsgröße in den Annahmebereich fällt, obwohl die Trefferwahrscheinlichkeit $10 %$ beträgt.
$\displaystyle \sum_{x=0}^{10} {100 \choose x} \cdot 0{,}1^x \cdot 0{,}9^{100-x} \approx 0{,}5832$
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. $58{,}23 \%$ .
Deutung des Wertes
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art ist mit $58{,}23 \%$ ziemlich hoch. Das heißt, dass die Inhaberin wahrscheinlich auch in Zukunft die Pflegeprodukte weiter benutzen wird.
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Berechne die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art. Achte darauf, dass es sich um eine kumulative Verteilung handelt.
Erkläre, was der Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

Definition der Testgröße und der Nullhypothese

Bestimmung des Ablehnungsbereichs

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Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art

Deutung des Wertes

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