Teil 2, Stochastik II

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Nachfolgend finden Sie einen Auszug aus der Preisliste eines Friseursalons:

In einer groß angelegten Umfrage unter den weiblichen Kunden des Salons wurde festgestellt, wie häufig zum Haareschneiden $(S)$ die Zusatzleistungen Waschen $(W)$ , Föhnen $(F)$ und Kolorieren $(K)$ gewünscht werden. Folgende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeiten für die Wahl von Dienstleistungen an. In dieser ist berücksichtigt, dass zum Kolorieren die Zusatzleistung Waschen gewählt werden muss und Föhnen nur in Kombination mit Waschen gewählt werden kann.

Zur Planung der Terminvergabe und des Einkaufs von Haarfärbemitteln und Pflegeprodukten sind die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse von Interesse. Berechnen Sie diese.
$E_{1}$ : „Von $15$ zufällig ausgewählten Kundinnen wählen genau fünf nur höchstens eine Zusatzleistung.“
$E_{2}$ : „Von $15$ zufällig ausgewählten Kundinnen entscheiden sich mehr als $40$ % für eine Koloration.“
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
$E_{1}$ :
Es handelt sich hier um eine Bernoulli-Kette, da es bei jeder Kundin nur zwei Möglichkeiten gibt (höchstens eine Zusatzleistung oder mehr als eine) und das Experiment wird voneinander unabhängig wiederholt.
Also kann man die Formel zur Berechnung einer bestimmten Anzahl an Treffern in einer Bernoulli-Kette anwenden. Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ lässt sich wie folgt berechnen:
$p = P(\text {S}) + P(\text {WS}) = 0{,}15 + 0{,}2 = 0{,}35$
$\displaystyle B(15;5;0{,}35) = {15 \choose 5} \cdot 0{,}35^5 \cdot 0{,}65^{10} \approx 0{,}2123 \approx \underline {\underline{21{,}23 \%}}$
$E_{2}$ :
$15 \cdot 0{,}4 = 6$ , das heißt, dass $k$ den Wert $7$ haben muss, da sich mehr als $40 %$ der $15$ Kundinnen für eine Koloration entscheiden
$p = P(\text {WSK}) + P(\text {WSKF}) = 0{,}06 + 0{,}24 = 0{,}3$
Hier handelt es sich um eine kumulative Verteilung, da nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt ist, dass sich mehr als $6$ Kundinnen für eine Koloration entscheiden.
$\displaystyle F_{0{,}3}^{15}(7) = \sum_7^{15}{15 \choose x} \cdot 0{,}3^x \cdot 0{,}7^{15-x} \approx 0{,}1311 \approx \underline {\underline{13{,}11 \%}}$
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Die Zufallsgröße $X$ gibt den Betrag in Euro an, den eine Kundin für die gewählten Dienstleistungen bei einem Besuch im Friseursalon bezahlt.

$1.$ Erstellen Sie mithilfe der Preisliste eine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ . Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf ganze Cent.

$2.$ Der Friseursalon hat pro Monat (u.a. für Wasser, Strom, Gehaltszahlungen und Miete) Ausgaben in Höhe von $7500$ €. Pro Tag ist durchschnittlich mit $15$ Kundinnen und $8$ Kunden zu rechnen. Letztere bezahlen im Durchschnitt $14,50$ € beim Verlassen des Friseursalons. Entscheiden Sie durch Rechnung unter Berücksichtigung der Ergebnisse von Aufgabe 1.b.1, ob die Inhaberin die Preise erhöhen sollte, wenn ein monatlicher Gewinn von $6500$ € erzielt werden soll. Ein Monat hat durchschnittlich $21$ Arbeitstage.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

1. Aufgabe

Zuerst erstellt man eine Tabelle mit den Preisen für die verschiedenen Dienstleistungen sowie ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Die Preise für "Waschen, Schneiden, Kolorieren" (WSK) und "Waschen, Schneiden, Kolorieren, Föhnen" (WSKF) muss man dafür noch berechnen:

$\text{Preis } (\text{WSK}) = \text{Preis } (\text{WS}) + \text{Preis } (\text{K}) = 23 \ € + 26{,}5 \ € = 49{,}5 \ €$

$\text{Preis } (\text{WSKF}) = \text{Preis } (\text{WSF}) + \text{Preis } (\text{K}) = 34{,}5 \ € + 26{,}5 \ € = 61 \ €$

X	$16$	$23$	$34,5$	$49,5$	$61$
P(X=x)	$0,15$	$0,2$	$0,35$	$0,06$	$0,24$

	$\displaystyle E\left(X\right)$
$=$	$\displaystyle 16\cdot0{,}15+23\cdot0{,}2+34{,}5\cdot0{,}35+49{,}5\cdot0{,}06+61\cdot0{,}24$
$=$	$\displaystyle 36{,}685$

Eine Kundin bezahlt im Durchschnitt also ca. $36,69$ €.

2. Aufgabe

Zuerst berechnet man, wie viel Geld an einem Tag verdient wird:

$\text{Anzahl Kundinnen} \cdot 36{,}685 \ € \ \ + \ \text{Anzahl Kunden} \cdot 14{,}5 \ € =$

$15 \cdot 36{,}685 \ € \ + \ 8 \cdot 14{,}5 \ € = 666{,}275 \ €$

Multipliziert man diesen Wert jetzt mit der Anzahl der Arbeitstage in einem Monat, erhält man den monatlichen Verdienst:

$666{,}275 \ € \cdot 21 = 13.991{,}775 \ €$

Als Nächstes muss man die Ausgaben abziehen:

$13.991{,}775 \ € - 7.500 \ € = 6.491{,}775$

Die Inhaberin sollte die Preise erhöhen, da der aktuelle Monatsgewinn unter $6500 \ €$ liegt.

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2
Das Haarefärben ist sowohl bei Erwachsenen als auch bei Jugendlichen sehr beliebt. Um ihre Zeitplanung zu optimieren, führt die Salonbesitzerin eine Strichliste, in der sie das Alter aller Kunden sowie deren Wunsch nach Farbe vermerkt. Unter $200$ Kunden waren $140$ Erwachsene
$(E$ ). Insgesamt ließen sich $55$ Kunden die Haare färben $(F)$ . $40$ Kunden waren Jugendliche, die sich gegen eine Koloration entschieden. Untersuchen Sie, bei welcher Altersgruppe das Haarefärben beliebter ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Erstellen einer Vierfeldertafel
Um die unbekannten Werte zu berechnen, trägt man zuerst die bekannten Werte aus der Aufgabenstellung in eine Vierfeldertafel ein. Die Ergebnisse werden hier mit
$\text{E}$ (Erwachsener), $\overline{\text{E}}$ (Jugendlicher),
$\text{F}$ (Haarefärben) und $\overline{\text{F}}$ (kein Haarefärben) abgekürzt.
Jetzt kann man die restlichen Werte berechnen:
Berechnung der Beliebtheit
Um die Beliebtheit des Haarfärbens zu ermitteln, berechnet man die relative Häufigkeit derjenigen, die sich die Haare färben haben lassen.
Dafür dividiert man die Anzahl der Erwachsenen (bzw. der Jugendlichen), die sich die Haare färben lassen, durch die Gesamtanzahl der Erwachsenen (bzw. der Jugendlichen), die beim Friseur waren.
Erwachsene:
$\dfrac {\text{E} \cap \text{F}}{\text{E}} = \dfrac {35}{140} = \dfrac {1}{4} = 0{,}25 = 25 \%$
$25 %$ der Erwachsenen lassen sich die Haare färben.
Jugendliche:
$\dfrac {\overline{\text{E}} \cap \text{F}}{\text{E}} = \dfrac {20}{60} = \dfrac {1}{3} = 0,\overline{3} \approx 33{,}3 \%$
Ca. $33{,}3 \%$ der Jugendlichen lassen sich die Haare färben.
Das Haarefärben ist also in der Altersgruppe der Jugendlichen beliebter.
Erstelle eine Vierfeldertafel zu dem beschriebenen Sachverhalt und berechne die unbekannten Werte
Berechne mithilfe der ermittelten Werte die relative Häufigkeit derjenigen, die sich die Haare färben haben lassen, sowohl bei den Erwachsenen als auch bei den Jugendlichen
Vergleiche die beiden Werte und formuliere einen Antwortsatz

Seit mehreren Jahren bezieht die Salonbetreiberin ihre Pflegeprodukte von einem Hersteller, der bekannt ist für die gute Qualität seiner Produkte und damit wirbt, dass höchstens $5$ % der Kunden und Kundinnen diese „nicht vertragen“. Aufgrund zahlreicher Kundenbeschwerden vermutet die Inhaberin, dass dieser Anteil gestiegen ist (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen, soll ein Signifikanztest auf einem Signifikanzniveau von $2$ % durchgeführt werden. Dazu werden insgesamt $100$ Kunden und Kundinnen, bei denen die Pflegeprodukte bereits verwendet wurden, befragt.

Geben Sie für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an. Berechnen Sie ferner den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Welche Entscheidung legt der Test nahe, wenn sich insgesamt $9$ Kunden und Kundinnen beschweren?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest

Definition der Testgröße und der Nullhypothese

Die Testgröße ist die Anzahl der "Treffer", das heißt in diesem Sachzusammenhang ist die Testgröße die Anzahl der Kunden, die sich beschweren, da sie das Produkt nicht vertragen.

Die Nullhypothese ist das Gegenteil der Gegenhypothese. In diesem Fall ist die Nullhypothese die Behauptung des Herstellers: "Höchstens $5 %$ der Kund*innen vertragen die Pflegeprodukte nicht."

Bestimmung des Ablehnungsbereichs

Hier nochmal eine kurze Zusammenfassung von allen bekannten Werten:

Nullhypothese	$H_0: \ \ p \, \leq \, 5 \%$
Gegenhypothese	$H_1: \ \ p \, > \, 5 \%$
Stichprobenlänge:	$100$
Signifikanzniveau	$2 %$

Wir gehen für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit $p$ den Wert $0,05$ hat, um die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art möglichst gering zu halten. Würde man einen höheren Wert für

$p$ wählen, würde das den Annahmebereich verkleinern (und den Ablehnungsbereich vergrößern) und somit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art erhöhen.

Der kritische Wert $k$ ist der Wert, ab dem die Zufallsgröße im Ablehnungsbereich liegt.

Da die Nullhypothese von einer niedrigeren Trefferwahrscheinlichkeit ausgeht als die Gegenhypothese, muss der Annahmebereich von $0$ bis $k - 1$ gehen und der Ablehnungsbereich von $k$ bis $100$ .

Der Annahme- bzw. Ablehnungsbereich bestimmt die Größe der Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. bzw. 2. Art.

Das Signifikanzniveau, das heißt die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art, beträgt $2 %$ . Dabei soll aber auch der Fehler 2. Art möglichst gering sein, das heißt man muss die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art so groß wie möglich, aber trotzdem unter dem Signifikanzniveau ansetzen.

Um den Ablehnungsbereich zu bestimmen, muss man den Wert für $k$ finden, bei dem die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße größer oder gleich $k$ ist, höchstens so groß ist wie das Signifikanzniveau.

$\displaystyle P(X \geq k)$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}02$
$\displaystyle \sum_{x=k}^{100} {100 \choose x} \cdot 0{,}05^x \cdot 0{,}95^{100-x}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}02$

Jetzt kann man entweder das Tafelwerk oder den Taschenrechner verwenden, um den Wert für $k$ herauszufinden. Dabei muss man darauf achten, dass es sich hier um eine kumulative Verteilung handelt.

Annahmebereich:	$A = \{0, 1, 2, ...,8 ,9 , 10 \}$
Ablehnungsbereich:	$\overline{A} = \{11, 12, 13, ..., 98, 99, 100\}$

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Berechnen Sie für diesen Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn tatsächlich $10$ % der Kunden und Kundinnen die Pflegeprodukte des Herstellers „nicht vertragen“. Deuten Sie die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art im Sachzusammenhang.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fehler erster Art und Fehler zweiter Art
Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art
Der Fehler 2. Art passiert dann, wenn die Nullhypothese falsch ist, aber fälschlicherweise als richtig angenommen wird.
Wenn tatsächlich $10 %$ der Kund*innen die Produkte nicht vertragen, ist die Nullhypothese falsch.
Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass sie trotzdem als richtig angenommen wird, muss man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Zufallsgröße in den Annahmebereich fällt, obwohl die Trefferwahrscheinlichkeit $10 %$ beträgt.
$\displaystyle \sum_{x=0}^{10} {100 \choose x} \cdot 0{,}1^x \cdot 0{,}9^{100-x} \approx 0{,}5832$
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. $58{,}23 \%$ .
Deutung des Wertes
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art ist mit $58{,}23 \%$ ziemlich hoch. Das heißt, dass die Inhaberin wahrscheinlich auch in Zukunft die Pflegeprodukte weiter benutzen wird.
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Berechne die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art. Achte darauf, dass es sich um eine kumulative Verteilung handelt.
Erkläre, was der Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2, Stochastik II

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1. Aufgabe

2. Aufgabe

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1. Aufgabe:

2. Aufgabe

Erstellen einer Vierfeldertafel

Berechnung der Beliebtheit

Definition der Testgröße und der Nullhypothese

Bestimmung des Ablehnungsbereichs

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Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art

Deutung des Wertes

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