Teil 2, Stochastik II - lernen mit Serlo!

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Nachfolgend finden Sie einen Auszug aus der Preisliste eines Friseursalons:

In einer groß angelegten Umfrage unter den weiblichen Kunden des Salons wurde festgestellt, wie häufig zum Haareschneiden $(S)$ die Zusatzleistungen Waschen $(W)$ , Föhnen $(F)$ und Kolorieren $(K)$ gewünscht werden. Folgende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeiten für die Wahl von Dienstleistungen an. In dieser ist berücksichtigt, dass zum Kolorieren die Zusatzleistung Waschen gewählt werden muss und Föhnen nur in Kombination mit Waschen gewählt werden kann.

Zur Planung der Terminvergabe und des Einkaufs von Haarfärbemitteln und Pflegeprodukten sind die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse von Interesse. Berechnen Sie diese.
$E_{1}$ : „Von $15$ zufällig ausgewählten Kundinnen wählen genau fünf nur höchstens eine Zusatzleistung.“
$E_{2}$ : „Von $15$ zufällig ausgewählten Kundinnen entscheiden sich mehr als $40$ % für eine Koloration.“
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
$E_{1}$ :
Es handelt sich hier um eine Bernoulli-Kette, da es bei jeder Kundin nur zwei Möglichkeiten gibt (höchstens eine Zusatzleistung oder mehr als eine) und das Experiment wird voneinander unabhängig wiederholt.
Also kann man die Formel zur Berechnung einer bestimmten Anzahl an Treffern in einer Bernoulli-Kette anwenden. Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ lässt sich wie folgt berechnen:
$p = P(\text {S}) + P(\text {WS}) = 0{,}15 + 0{,}2 = 0{,}35$
$\displaystyle B(15;5;0{,}35) = {15 \choose 5} \cdot 0{,}35^5 \cdot 0{,}65^{10} \approx 0{,}2123 \approx \underline {\underline{21{,}23 \%}}$
$E_{2}$ :
$15 \cdot 0{,}4 = 6$ , das heißt, dass $k$ den Wert $7$ haben muss, da sich mehr als $40 %$ der $15$ Kundinnen für eine Koloration entscheiden
$p = P(\text {WSK}) + P(\text {WSKF}) = 0{,}06 + 0{,}24 = 0{,}3$
Hier handelt es sich um eine kumulative Verteilung, da nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt ist, dass sich mehr als $6$ Kundinnen für eine Koloration entscheiden.
$\displaystyle F_{0{,}3}^{15}(7) = \sum_7^{15}{15 \choose x} \cdot 0{,}3^x \cdot 0{,}7^{15-x} \approx 0{,}1311 \approx \underline {\underline{13{,}11 \%}}$
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Die Zufallsgröße $X$ gibt den Betrag in Euro an, den eine Kundin für die gewählten Dienstleistungen bei einem Besuch im Friseursalon bezahlt.

$1.$ Erstellen Sie mithilfe der Preisliste eine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ . Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf ganze Cent.

$2.$ Der Friseursalon hat pro Monat (u.a. für Wasser, Strom, Gehaltszahlungen und Miete) Ausgaben in Höhe von $7500$ €. Pro Tag ist durchschnittlich mit $15$ Kundinnen und $8$ Kunden zu rechnen. Letztere bezahlen im Durchschnitt $14,50$ € beim Verlassen des Friseursalons. Entscheiden Sie durch Rechnung unter Berücksichtigung der Ergebnisse von Aufgabe 1.b.1, ob die Inhaberin die Preise erhöhen sollte, wenn ein monatlicher Gewinn von $6500$ € erzielt werden soll. Ein Monat hat durchschnittlich $21$ Arbeitstage.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

1. Aufgabe

Zuerst erstellt man eine Tabelle mit den Preisen für die verschiedenen Dienstleistungen sowie ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Die Preise für "Waschen, Schneiden, Kolorieren" (WSK) und "Waschen, Schneiden, Kolorieren, Föhnen" (WSKF) muss man dafür noch berechnen:

$\text{Preis } (\text{WSK}) = \text{Preis } (\text{WS}) + \text{Preis } (\text{K}) = 23 \ € + 26{,}5 \ € = 49{,}5 \ €$

$\text{Preis } (\text{WSKF}) = \text{Preis } (\text{WSF}) + \text{Preis } (\text{K}) = 34{,}5 \ € + 26{,}5 \ € = 61 \ €$

X	$16$	$23$	$34,5$	$49,5$	$61$
P(X=x)	$0,15$	$0,2$	$0,35$	$0,06$	$0,24$

	$\displaystyle E\left(X\right)$
$=$	$\displaystyle 16\cdot0{,}15+23\cdot0{,}2+34{,}5\cdot0{,}35+49{,}5\cdot0{,}06+61\cdot0{,}24$
$=$	$\displaystyle 36{,}685$

Eine Kundin bezahlt im Durchschnitt also ca. $36,69$ €.

2. Aufgabe

Zuerst berechnet man, wie viel Geld an einem Tag verdient wird:

$\text{Anzahl Kundinnen} \cdot 36{,}685 \ € \ \ + \ \text{Anzahl Kunden} \cdot 14{,}5 \ € =$

$15 \cdot 36{,}685 \ € \ + \ 8 \cdot 14{,}5 \ € = 666{,}275 \ €$

Multipliziert man diesen Wert jetzt mit der Anzahl der Arbeitstage in einem Monat, erhält man den monatlichen Verdienst:

$666{,}275 \ € \cdot 21 = 13.991{,}775 \ €$

Als Nächstes muss man die Ausgaben abziehen:

$13.991{,}775 \ € - 7.500 \ € = 6.491{,}775$

Die Inhaberin sollte die Preise erhöhen, da der aktuelle Monatsgewinn unter $6500 \ €$ liegt.

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