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Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Vor einem Tennisturnier werden die verwendeten Tennisbälle hinsichtlich der Qualität geprüft. Aus Erfahrung weiß man, dass $90 %$ der Bälle den richtigen Durchmesser aufweisen $(D),$ $10 %$ Fehler in der Form $(\overline F)$ sowie $20 %$ Fehler in der Elastizität $(\overline E)$ zu beklagen sind. Alle Fehler treten unabhängig voneinander auf. Im Zufallsexperiment wird ein beliebig ausgewählter Ball auf die drei möglichen Fehler untersucht.

Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments
Baumdiagramm
$P(DFE)=0{,}9\cdot 0{,}9\cdot 0{,}8=0{,}648$
$P(DF\overline E)=0{,}9\cdot 0{,}9\cdot 0{,}2=0{,}162$
$P(D\overline F E)=0{,}9\cdot 0{,}1\cdot 0{,}8=0{,}072$
$P(D\overline F\;\overline E)=0{,}9\cdot 0{,}1\cdot 0{,}2=0{,}018$
$P(\overline DF E)=0{,}1\cdot 0{,}9\cdot 0{,}8=0{,}072$
$P(\overline DF\overline E)=0{,}1\cdot 0{,}9\cdot 0{,}2=0{,}018$
$P(\overline D\;\overline F E)=0{,}1\cdot 0{,}1\cdot 0{,}8=0{,}008$
$P(\overline D\;\overline F\;\overline E)=0{,}1\cdot 0{,}1\cdot 0{,}2=0{,}002$
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Übertrage die gegebenen Wahrscheinlichkeiten in ein Baumdiagramm und gib die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments an.
Gegeben seien folgende Ereignisse:
$E_{1}$ : „Der Ball weist genau 2 Fehler auf.“
$E_{2}$ : { $DFE; DF\overline E; \overline DFE; \overline DF\overline E$ }
1. Geben Sie $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie $E_{2}$ möglichst einfach in Worte. Prüfen Sie ferner $E_{1}$ und $E_{2}$ auf stochastische Unabhängigkeit.
2. Geben Sie ein Ereignis $E_{3}$ an, für das gilt: $10\cdot P(E_3)=P(E_2)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
1. Gib $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie $E_{2}$ möglichst einfach in Worte.
$E_{1}$ : „Der Ball weist genau 2 Fehler auf.“
Das Ereignis $E_{1}$ ist dann:
$E_1:\{\overline D\;\overline FE;\overline DF\overline E; D\overline F\;\overline E\}$
Gegeben ist $E_{2}$ : { $DFE; DF\overline E; \overline DFE; \overline DF\overline E$ }
Das Ereignis $E_{2}$ lautet in Worten:
$E_{2}$ : Der Tennisball hat keinen Fehler in der Form.
Prüfe $E_{1}$ und $E_{2}$ auf stochastische Unabhängigkeit
Aus dem Baumdiagramm entnimmt man die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
Dann ist:
$P(E_1)=P(\overline D\;\overline FE)+P(\overline DF\overline E)+P( D\overline F\;\overline E)=0{,}008+0{,}018+0{,}018=0{,}044$ .
$P(E_2)=P(DFE)+P(DF\overline E)+P(\overline DFE)+P(\overline DF\overline E)=0{,}648+0{,}162+0{,}072+0{,}018=0{,}9$
Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt:
$P(E_1)\cdot P(E_2)=P(E_1\cap E_2)$
Es gilt: $P(E_1)\cdot P(E_2)=0{,}044\cdot 0{,}9=0{,}0396$
Das Ereignis $E_1\cap E_2= \{\overline DF\overline E\}\;\Rightarrow\;P(E_1\cap E_2)=0{,}018$ .
Der Vergleich zeigt, dass $0{,}0396\neq0{,}018$ ist, d.h. die Ereignisse sind stochastisch abhängig.
2. Gib ein Ereignis $E_{3}$ an, für das gilt: $10\cdot P(E_3)=P(E_2)$
Es ist $10\cdot P(E_3)=P(E_2)=0{,}9$ (siehe Berechnung unter 1.)
Dann folgt aus dieser Gleichung $P(E_3)=\dfrac{0{,}9}{10}=0{,}09$ .
Gesucht ist also ein Ereignis $E_{3}$ mit $P(E_3)=0{,}09$ .
Aus dem Baumdiagramm entnimmt man $0,072 + 0,018 = 0,09$ .
Es gibt nun verschiedene Lösungen:
$E_3:\{D\overline FE; D\overline F\;\overline E\}$ : Der Durchmesser ist richtig, die Form hat Fehler.
$E_3: \{\overline DF E; \overline DF\overline E\}$ : Der Durchmesser hat Fehler, die Form ist richtig.
Es gibt noch weitere mögliche Lösungen.
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Teil 1
$E_{1}$ : Suche im Baumdiagramm die Ereignisse mit zwei Fehlern.
$E_{2}$ : Was ist allen 4 Elementarereignissen gemeinsam?
Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt: $P(E_1)\cdot P(E_2)=P(E_1\cap E_2)$
Berechne $P (E_{1}), P (E_{2})$ und $P(E_1\cap E_2)$ und überprüfe die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit.
Teil 2
Es ist $10\cdot P(E_3)=P(E_2)=0{,}9$ $\;\Rightarrow\;P(E_3)$ .
Suche im Baumdiagramm Ereignisse, die zusammen den Wert von $P (E_{3})$ ergeben. Es gibt verschiedene Lösungen.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments

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1. Gib E1E_1E1​ in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie E2E_2E2​ möglichst einfach in Worte.

E1E_1E1​: „Der Ball weist genau 2 Fehler auf.“

Gegeben ist E2E_2E2​: {DFE;DFE‾;D‾FE;D‾FE‾DFE; DF\overline E; \overline DFE; \overline DF\overline EDFE;DFE;DFE;DFE }

Prüfe E1E_1E1​ und E2E_2E2​ auf stochastische Unabhängigkeit

2. Gib ein Ereignis E3E_3E3​ an, für das gilt: 10⋅P(E3)=P(E2)10\cdot P(E_3)=P(E_2)10⋅P(E3​)=P(E2​)

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1. Gib $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie $E_{2}$ möglichst einfach in Worte.

$E_{1}$ : „Der Ball weist genau 2 Fehler auf.“

Gegeben ist $E_{2}$ : { $DFE; DF\overline E; \overline DFE; \overline DF\overline E$ }

Prüfe $E_{1}$ und $E_{2}$ auf stochastische Unabhängigkeit

2. Gib ein Ereignis $E_{3}$ an, für das gilt: $10\cdot P(E_3)=P(E_2)$