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🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Im Folgenden werden relative HĂ€ufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

    Vor einem Tennisturnier werden die verwendeten TennisbĂ€lle hinsichtlich der QualitĂ€t geprĂŒft. Aus Erfahrung weiß man, dass 90% der BĂ€lle den richtigen Durchmesser aufweisen (D), 10% Fehler in der Form (F) sowie 20% Fehler in der ElastizitĂ€t (E) zu beklagen sind. Alle Fehler treten unabhĂ€ngig voneinander auf. Im Zufallsexperiment wird ein beliebig ausgewĂ€hlter Ball auf die drei möglichen Fehler untersucht.

    1. Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments.

    2. Gegeben seien folgende Ereignisse:

      E1: „Der Ball weist genau 2 Fehler auf.“

      E2: {DFE;DFE;DFE;DFE }

      1. Geben Sie E1 in aufzĂ€hlender Mengenschreibweise an und fassen Sie E2 möglichst einfach in Worte. PrĂŒfen Sie ferner E1 und E2 auf stochastische UnabhĂ€ngigkeit.

      2. Geben Sie ein Ereignis E3 an, fĂŒr das gilt: 10⋅P(E3)=P(E2)

  2. 2

    Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Die ZufallsgrĂ¶ĂŸe X gibt die Anzahl der Fehler eines Balls an. Es treten nur die drei in Aufgabe 1 genannten Fehler mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten auf.

    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.

    2. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.

  3. 3

    Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    In der Aufgabe 3 habe das Ereignis „fehlerfreier Ball“ die Wahrscheinlichkeit p=0,65.

    Einem VorratsbehĂ€lter werden der Reihe nach 15 BĂ€lle mit ZurĂŒcklegen entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

    E4: „Genau 5 BĂ€lle sind fehlerfrei.“

    E5: „Genau 7 BĂ€lle sind fehlerfrei, aber nicht die ersten fĂŒnf.“

    E6: „Mindestens 10, aber weniger als 14 BĂ€lle sind fehlerfrei.“

    E7: „Nur 2 entnommene BĂ€lle sind fehlerhaft und diese folgen nacheinander.“

  4. 4

    Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    In den Teilaufgaben 4 habe das Ereignis „fehlerfreier Ball“ die Wahrscheinlichkeit p=0,65.

    Nach Anschaffung einer neuen Maschine behauptet der Hersteller, dass der Anteil fehlerfreier BĂ€lle auf ĂŒber 65% gestiegen ist (Gegenhypothese). Zur ÜberprĂŒfung wird ein Signifikanztest mit 100 zufĂ€llig ausgewĂ€hlten BĂ€llen durchgefĂŒhrt.

    1. Sind mindestens 70 BĂ€lle fehlerfrei, so geht man von einer verbesserten Maschine aus. Geben Sie die TestgrĂ¶ĂŸe sowie die Nullhypothese an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fĂŒr den Fehler 1. Art.

    2. Ermitteln Sie den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 5%-Niveau.

  5. 5

    Die Tennisfreunde Bernie Ball und Nobby Netz vereinbaren eine kleine Trainingseinheit von 4 Spielen. Bei jedem Spiel hat Bernie die konstante Gewinnwahrscheinlichkeit p>0. Das Ereignis „Bernie gewinnt genau einmal“ ist doppelt so wahrscheinlich wie das Ereignis „Bernie gewinnt nie“

    1. Berechnen Sie hieraus p.

      [Ergebnis: p=13]

    2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

      E8: „Bernie gewinnt genau zweimal.“

      E9: „Bernie gewinnt höchstens einmal.“


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