S I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
Vor einem Tennisturnier werden die verwendeten Tennisbälle hinsichtlich der Qualität geprüft. Aus Erfahrung weiß man, dass $90 %$ der Bälle den richtigen Durchmesser aufweisen $(D),$ $10 %$ Fehler in der Form $(\overline F)$ sowie $20 %$ Fehler in der Elastizität $(\overline E)$ zu beklagen sind. Alle Fehler treten unabhängig voneinander auf. Im Zufallsexperiment wird ein beliebig ausgewählter Ball auf die drei möglichen Fehler untersucht.
1. Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments
  Baumdiagramm
  $P(DFE)=0{,}9\cdot 0{,}9\cdot 0{,}8=0{,}648$
  $P(DF\overline E)=0{,}9\cdot 0{,}9\cdot 0{,}2=0{,}162$
  $P(D\overline F E)=0{,}9\cdot 0{,}1\cdot 0{,}8=0{,}072$
  $P(D\overline F\;\overline E)=0{,}9\cdot 0{,}1\cdot 0{,}2=0{,}018$
  $P(\overline DF E)=0{,}1\cdot 0{,}9\cdot 0{,}8=0{,}072$
  $P(\overline DF\overline E)=0{,}1\cdot 0{,}9\cdot 0{,}2=0{,}018$
  $P(\overline D\;\overline F E)=0{,}1\cdot 0{,}1\cdot 0{,}8=0{,}008$
  $P(\overline D\;\overline F\;\overline E)=0{,}1\cdot 0{,}1\cdot 0{,}2=0{,}002$
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  Übertrage die gegebenen Wahrscheinlichkeiten in ein Baumdiagramm und gib die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments an.
2. Gegeben seien folgende Ereignisse:
  $E_{1}$ : „Der Ball weist genau 2 Fehler auf.“
  $E_{2}$ : { $DFE; DF\overline E; \overline DFE; \overline DF\overline E$ }
  1. Geben Sie $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie $E_{2}$ möglichst einfach in Worte. Prüfen Sie ferner $E_{1}$ und $E_{2}$ auf stochastische Unabhängigkeit.
  2. Geben Sie ein Ereignis $E_{3}$ an, für das gilt: $10\cdot P(E_3)=P(E_2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
  1. Gib $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie $E_{2}$ möglichst einfach in Worte.
  $E_{1}$ : „Der Ball weist genau 2 Fehler auf.“
  Das Ereignis $E_{1}$ ist dann:
  $E_1:\{\overline D\;\overline FE;\overline DF\overline E; D\overline F\;\overline E\}$
  Gegeben ist $E_{2}$ : { $DFE; DF\overline E; \overline DFE; \overline DF\overline E$ }
  Das Ereignis $E_{2}$ lautet in Worten:
  $E_{2}$ : Der Tennisball hat keinen Fehler in der Form.
  Prüfe $E_{1}$ und $E_{2}$ auf stochastische Unabhängigkeit
  Aus dem Baumdiagramm entnimmt man die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
  Dann ist:
  $P(E_1)=P(\overline D\;\overline FE)+P(\overline DF\overline E)+P( D\overline F\;\overline E)=0{,}008+0{,}018+0{,}018=0{,}044$ .
  $P(E_2)=P(DFE)+P(DF\overline E)+P(\overline DFE)+P(\overline DF\overline E)=0{,}648+0{,}162+0{,}072+0{,}018=0{,}9$
  Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt:
  $P(E_1)\cdot P(E_2)=P(E_1\cap E_2)$
  Es gilt: $P(E_1)\cdot P(E_2)=0{,}044\cdot 0{,}9=0{,}0396$
  Das Ereignis $E_1\cap E_2= \{\overline DF\overline E\}\;\Rightarrow\;P(E_1\cap E_2)=0{,}018$ .
  Der Vergleich zeigt, dass $0{,}0396\neq0{,}018$ ist, d.h. die Ereignisse sind stochastisch abhängig.
  2. Gib ein Ereignis $E_{3}$ an, für das gilt: $10\cdot P(E_3)=P(E_2)$
  Es ist $10\cdot P(E_3)=P(E_2)=0{,}9$ (siehe Berechnung unter 1.)
  Dann folgt aus dieser Gleichung $P(E_3)=\dfrac{0{,}9}{10}=0{,}09$ .
  Gesucht ist also ein Ereignis $E_{3}$ mit $P(E_3)=0{,}09$ .
  Aus dem Baumdiagramm entnimmt man $0,072 + 0,018 = 0,09$ .
  Es gibt nun verschiedene Lösungen:
  $E_3:\{D\overline FE; D\overline F\;\overline E\}$ : Der Durchmesser ist richtig, die Form hat Fehler.
  $E_3: \{\overline DF E; \overline DF\overline E\}$ : Der Durchmesser hat Fehler, die Form ist richtig.
  Es gibt noch weitere mögliche Lösungen.
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  Teil 1
  $E_{1}$ : Suche im Baumdiagramm die Ereignisse mit zwei Fehlern.
  $E_{2}$ : Was ist allen 4 Elementarereignissen gemeinsam?
  Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt: $P(E_1)\cdot P(E_2)=P(E_1\cap E_2)$
  Berechne $P (E_{1}), P (E_{2})$ und $P(E_1\cap E_2)$ und überprüfe die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit.
  Teil 2
  Es ist $10\cdot P(E_3)=P(E_2)=0{,}9$ $\;\Rightarrow\;P(E_3)$ .
  Suche im Baumdiagramm Ereignisse, die zusammen den Wert von $P (E_{3})$ ergeben. Es gibt verschiedene Lösungen.
2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Fehler eines Balls an. Es treten nur die drei in Aufgabe 1 genannten Fehler mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten auf.
1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeitsverteilung
  Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$
  $X$ ist die Anzahl der Fehler.
  Die Wahrscheinlichkeiten werden dem Baumdiagramm aus Aufgabe 1 entnommen.
  $P(DFE)=0{,}9\cdot 0{,}9\cdot 0{,}8=0{,}648\;\Rightarrow\;$ $0$ Fehler
  $P(DF\overline E)=0{,}9\cdot 0{,}9\cdot 0{,}2=0{,}162\;\Rightarrow\;$ $1$ Fehler
  $P(D\overline F E)=0{,}9\cdot 0{,}1\cdot 0{,}8=0{,}072\;\Rightarrow\;$ $1$ Fehler
  $P(D\overline F\;\overline E)=0{,}9\cdot 0{,}1\cdot 0{,}2=0{,}018\;\Rightarrow\;$ $2$ Fehler
  $P(\overline DF E)=0{,}1\cdot 0{,}9\cdot 0{,}8=0{,}072\;\Rightarrow\;$ $1$ Fehler
  $P(\overline DF\overline E)=0{,}1\cdot 0{,}9\cdot 0{,}2=0{,}018\;\Rightarrow\;$ $2$ Fehler
  $P(\overline D\;\overline F E)=0{,}1\cdot 0{,}1\cdot 0{,}8=0{,}008\;\Rightarrow\;$ $2$ Fehler
  $P(\overline D\;\overline F\;\overline E)=0{,}1\cdot 0{,}1\cdot 0{,}2=0{,}002\;\Rightarrow\;$ $3$ Fehler
  Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeiten:
  $P(0\; \text{Fehler})=0{,}648$
  $P(1\; \text{Fehler})=0{,}162+0{,}072+0{,}072=0{,}306$
  $P(2\; \text{Fehler})=0{,}018+0{,}018+0{,}008=0{,}044$
  $P(3\; \text{Fehler})=0{,}002$
  Damit erhält man die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ .
  $x_{i}$
  $0$
  $1$
  $2$
  $3$
  $P (X = x_{i})$
  $0,648$
  $0,306$
  $0,044$
  $0,002$
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  $X$ ist die Anzahl der Fehler.
  Die Wahrscheinlichkeiten werden dem Baumdiagramm aus Aufgabe 1 entnommen.
  Fasse die Wahrscheinlichkeiten zusammen.
  Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ .
2. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
  Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen
  $\mu=E(X)=0\cdot 0{,}648+1\cdot 0{,}306+2\cdot 0{,}044+3\cdot 0{,}002=0{,}4$
  Die Varianz ist dann:
  $V(X)=E(X^2)-\mu^2=0^2\cdot 0{,}648+1^2\cdot 0{,}306+2^2\cdot 0{,}044+3^2\cdot 0{,}002-0{,}4^2=0{,}34$
  Für die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{V(X)}$ folgt dann:
  $\sigma=\sqrt{0{,}34}\approx0{,}5831$
  Gefragt ist nach $|X-\mu|\leq \sigma$ .
  $\Rightarrow\;\mu-\sigma=0{,}4-0{,}5831=-0{,}1831$ und $\mu+\sigma=0{,}4+0{,}5831 =0{,}9831$
  $\Rightarrow\;-0{,}1831\leq X\leq 0{,}9831$
  Betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Aufgabe a), stellt man fest, dass nur der Zufallswert $X = 0$ in der Ungleichung liegt (weil die $X$ -Werte 2, 3 und 4 größer als $0,9831$ sind).
  Somit ist $P(|X-\mu|\leq \sigma)=P(X=0)=0{,}648$ .
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  Berechne $μ \mu$ und $V(X)=E(X^2)-\mu^2$ und $\sigma=\sqrt{V(X)}$ .
  Gesucht ist $|X-\mu|\leq \sigma$ .
  Berechne $\mu-\sigma$ und $\mu+\sigma$ . Man erhält das Intervall $\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma$ .
  Betrachte die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Aufgabe a), so stellst du fest, dass nur ein bestimmter Zufallswert $X = X_{1}$ in der Ungleichung liegt.
  Dann gilt: $P(|X-\mu|\leq \sigma)=P(X=X_1)=p_1$ ( $p_{1}$ entnommen aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung).
3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
In der Aufgabe 3 habe das Ereignis „fehlerfreier Ball“ die Wahrscheinlichkeit $p = 0,65$ .
Einem Vorratsbehälter werden der Reihe nach $15$ Bälle mit Zurücklegen entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
$E_{4}$ : „Genau 5 Bälle sind fehlerfrei.“
$E_{5}$ : „Genau 7 Bälle sind fehlerfrei, aber nicht die ersten fünf.“
$E_{6}$ : „Mindestens 10, aber weniger als 14 Bälle sind fehlerfrei.“
$E_{7}$ : „Nur 2 entnommene Bälle sind fehlerhaft und diese folgen nacheinander.“
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
$E_{4}$ : „Genau 5 Bälle sind fehlerfrei.“
Es ist $n = 15$ und $p = 0,65$ .
Berechne $P(E_4)=P(X=5)=B(15;0{,}65;5)\approx0{,}00961$
Es ist $P_{15;0{,}65}(X=5)=B(15;0{,}65;5)=\begin{pmatrix}15\\5\end{pmatrix}\cdot 0{,}65^5\cdot 0{,}35^{10}\approx0{,}00961175...$ .
Die Berechnung erfolgte hier mit dem Taschenrechner. Alternativ kann der Wert auch mit dem Tafelwerk bestimmt werden. (Gilt für alle Teilaufgaben.)
$E_{5}$ : „Genau 7 Bälle sind fehlerfrei, aber nicht die ersten fünf.“
$p_{\text{nicht fehlerfrei}}=1-0{,}65=0{,}35$
$P(E_5)=\underbrace{0{,}35^5}_{\text{5 sind nicht fehlerfrei}}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}10\\7\end{pmatrix}\cdot 0{,}65^7\cdot 0{,}35^{3}}_{\text{7 von 10 sind fehlerfrei}}\approx0{,}00132$
$E_{6}$ : „Mindestens 10, aber weniger als 14 Bälle sind fehlerfrei.“
$P(E_6)=P(10\leq X \leq 13)=F(15;0{,}65;13)-F(15;0{,}65;10)\approx0{,}98582-0{,}43572=0{,}55010$
$E_{7}$ : „Nur 2 entnommene Bälle sind fehlerhaft und diese folgen nacheinander.“
Anordnung der Bälle:
$\underbrace{--}_{\text{2 sind nicht fehlerfrei}}\underbrace{+++++++++++++}_{\text{13 sind fehlerfrei}}$
$+ - - + + + + + + + + + + + +$
$+ + - - + + + + + + + + + + +$
.
. $\;\Rightarrow\;14$ mögliche Anordnungen
.
$+ + + + + + + + + + + + + - -$
$P(E_7)=14\cdot 0{,}65^{13}\cdot 0{,}35^2\approx0{,}00634$
$E_{4}$ : Es ist $n = 15$ und $p = 0,65$ . Berechne $P (E_{4}) = P (X = 5)$
$E_{5}$ : $p_{\text{nicht fehlerfrei}}=1-0{,}65=0{,}35$ . $P(E_5)=P({\text{5 sind nicht fehlerfrei}})\cdot P({\text{7 von 10 Bällen sind fehlerfrei}})$
$E_6: P(E_6)=P(10\leq X \leq 13)$
$E_{7}$ : Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei nichtfehlerfreie Bälle und $13$ fehlerfreie Bälle anzuordnen.
4
Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
In den Teilaufgaben 4 habe das Ereignis „fehlerfreier Ball“ die Wahrscheinlichkeit $p = 0,65$ .
Nach Anschaffung einer neuen Maschine behauptet der Hersteller, dass der Anteil fehlerfreier Bälle auf über $65 %$ gestiegen ist (Gegenhypothese). Zur Überprüfung wird ein Signifikanztest mit $100$ zufällig ausgewählten Bällen durchgeführt.
1. Sind mindestens $70$ Bälle fehlerfrei, so geht man von einer verbesserten Maschine aus. Geben Sie die Testgröße sowie die Nullhypothese an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Gib die Testgröße sowie die Nullhypothese an
  Es ist $n = 100$ und $p = 0,65$ .
  Die Testgröße ist $X$ : Anzahl der fehlerfreien Bälle.
  Nullhypothese
  $H_0: p_0\leq 0{,}65\quad A=\{0,.....,69\}$
  $\left(H_1: p_1> 0{,}65\quad \overline{A}=\{70,.....,100\}\right)$
  Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art
  $P(\overline{A})=P(X\geq 70)=1-P(X\leq 69)=1-F(100;0{,}65{,}69)\approx1-0{,}82698=0{,}17302$
  Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt rund $17{,}3\;\%$ .
  Anmerkung: Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit kann mit dem TR oder dem Tafelwerk erfolgen.
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  Teil 1
  Es ist $n = 100$ und $p = 0,65$ .
  Testgröße kann nur die Anzahl fehlerfreier Bälle sein.
  Die Gegenhypothese ist in der Aufgabenstellung genannt. Formuliere eine entsprechende Nullhypothese.
  Teil 2
  Berechne $P(\overline{A})=P(X\geq 70)$ .
2. Ermitteln Sie den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem $5 %$ -Niveau.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Ermittle den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem $5 %$ -Niveau
  Es gilt: $n = 100$ und $p = 0,65$ .
  $H_0: p_0\leq 0{,}65\quad A=\{0,.....,k-1\}$
  $H_1: p_1> 0{,}65\quad \overline{A}=\{k,.....,100\}$
  Dann folgt: $P(\overline{A})=P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)\leq 0{,}05$
  $\Rightarrow\;0{,}95\leq P(X\leq k-1)\;\Rightarrow\;0{,}95\leq F(100;0{,}65;k-1)$
  Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit kann mit dem TR oder dem Tafelwerk erfolgen.
  Es ist $F(100;0{,}65;72)\approx0{,}94419\leq 0{,}95$ und $F(100;0{,}65;73)\approx0{,}96486\geq 0{,}95$ .
  Demnach ist $k-1=73\;\Rightarrow k=74$ $\;\Rightarrow\;A=\{0,.....,73\}$ und $\overline{A}=\{74,.....,100\}$ .
  Der maximale Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem $5 %$ -Niveau ist $\overline{A}=\{74,.....,100\}$ .
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  Es gilt: $n = 100$ und $p = 0,65$ .
  $H_0: p_0\leq 0{,}65\quad A=\{0,.....,k-1\}$
  $H_1: p_1> 0{,}65\quad \overline{A}=\{k,.....,100\}$
  Berechne $P(\overline{A})=P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)\leq 0{,}05$

$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$0,648$	$0,306$	$0,044$	$0,002$

Die Tennisfreunde Bernie Ball und Nobby Netz vereinbaren eine kleine Trainingseinheit von $4$ Spielen. Bei jedem Spiel hat Bernie die konstante Gewinnwahrscheinlichkeit $p\gt 0$ . Das Ereignis „Bernie gewinnt genau einmal“ ist doppelt so wahrscheinlich wie das Ereignis „Bernie gewinnt nie“

Berechnen Sie hieraus $p .$

[Ergebnis: $p=\dfrac{1}{3}$ ]

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
$E_{8}$ : „Bernie gewinnt genau zweimal.“
$E_{9}$ : „Bernie gewinnt höchstens einmal.“
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
$E_{8}$ : „Bernie gewinnt genau zweimal.“
Es ist $n = 4$ und $p=\dfrac{1}{3}$ .
$P(E_8)=P(X=2)=B(4;\frac{1}{3};2)\approx0{,}29630$
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{8}$ : „Bernie gewinnt genau zweimal“, beträgt rund $0,2963$ .
$E_{9}$ : „Bernie gewinnt höchstens einmal.“
$P(E_9)=P(X\leq 1)=F(4;\frac{1}{3};1)\approx0{,}59259$
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{9}$ : „Bernie gewinnt höchstens einmal“, beträgt rund $0,5926$ .
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Es ist $n = 4$ und $p=\dfrac{1}{3}$ .
Berechne $P (E_{8}) = P (X = 2)$ .
Berechne $P(E_9)=P(X\leq 1)$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 2\cdot (1-p)^4$	$=$	$\displaystyle 4\cdot p^1\cdot (1-p)^3$	$\displaystyle :2$
	↓	Löse nach $p$ auf.
$\displaystyle (1-p)^4$	$=$	$\displaystyle 2\cdot p^1\cdot (1-p)^3$	$\displaystyle :(1-p)^3$
$\displaystyle 1-p$	$=$	$\displaystyle 2\cdot p$	$\displaystyle +p$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 3\cdot p$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle p$

S I

Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments

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1. Gib E1E_1E1​ in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie E2E_2E2​ möglichst einfach in Worte.

E1E_1E1​: „Der Ball weist genau 2 Fehler auf.“

Gegeben ist E2E_2E2​: {DFE;DFE‾;D‾FE;D‾FE‾DFE; DF\overline E; \overline DFE; \overline DF\overline EDFE;DFE;DFE;DFE }

Prüfe E1E_1E1​ und E2E_2E2​ auf stochastische Unabhängigkeit

2. Gib ein Ereignis E3E_3E3​ an, für das gilt: 10⋅P(E3)=P(E2)10\cdot P(E_3)=P(E_2)10⋅P(E3​)=P(E2​)

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Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XXX

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Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen

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Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

E4E_4E4​: „Genau 5 Bälle sind fehlerfrei.“

E5E_5E5​: „Genau 7 Bälle sind fehlerfrei, aber nicht die ersten fünf.“

E6E_6E6​: „Mindestens 10, aber weniger als 14 Bälle sind fehlerfrei.“

E7E_7E7​: „Nur 2 entnommene Bälle sind fehlerhaft und diese folgen nacheinander.“

Gib die Testgröße sowie die Nullhypothese an

Nullhypothese

Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art

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Ermittle den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 5 %5\;\%5%-Niveau

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Berechne hieraus ppp

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

E8E_8E8​: „Bernie gewinnt genau zweimal.“

E9E_9E9​: „Bernie gewinnt höchstens einmal.“

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1. Gib $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie $E_{2}$ möglichst einfach in Worte.

$E_{1}$ : „Der Ball weist genau 2 Fehler auf.“

Gegeben ist $E_{2}$ : { $DFE; DF\overline E; \overline DFE; \overline DF\overline E$ }

Prüfe $E_{1}$ und $E_{2}$ auf stochastische Unabhängigkeit

2. Gib ein Ereignis $E_{3}$ an, für das gilt: $10\cdot P(E_3)=P(E_2)$

Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$

$E_{4}$ : „Genau 5 Bälle sind fehlerfrei.“

$E_{5}$ : „Genau 7 Bälle sind fehlerfrei, aber nicht die ersten fünf.“

$E_{6}$ : „Mindestens 10, aber weniger als 14 Bälle sind fehlerfrei.“

$E_{7}$ : „Nur 2 entnommene Bälle sind fehlerhaft und diese folgen nacheinander.“

Ermittle den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem $5 %$ -Niveau

Berechne hieraus $p$

$E_{8}$ : „Bernie gewinnt genau zweimal.“

$E_{9}$ : „Bernie gewinnt höchstens einmal.“