Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$E_{4}E\_4$: „Genau 5 Bälle sind fehlerfrei.“

Es ist $n=15n=15$ und $p=\mathrm{0,65}p=0\{,\}65$.

Berechne $P(E_4)=P(X=5)=B(15;\mathrm{0,65};5)\approx \mathrm{0,00961}P(E\_4)=P(X=5)=B(15;0\{,\}65;5)\backslash approx0\{,\}00961$

Es ist $P_{15;\mathrm{0,65}}(X=5)=B(15;\mathrm{0,65};5)=\left(\begin{array}{c}15\\ 5\end{array}\right)\cdot {\mathrm{0,65}}^5\cdot {\mathrm{0,35}}^{10}\approx \mathrm{0,00961175...}P\_\{15;0\{,\}65\}(X=5)=B(15;0\{,\}65;5)=\backslash begin\{pmatrix\}15\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}\backslash cdot\; 0\{,\}65^5\backslash cdot\; 0\{,\}35^\{10\}\backslash approx0\{,\}00961175...$.

Die Berechnung erfolgte hier mit dem Taschenrechner. Alternativ kann der Wert auch mit dem Tafelwerk bestimmt werden. (Gilt für alle Teilaufgaben.)

$E_{5}E\_5$: „Genau 7 Bälle sind fehlerfrei, aber nicht die ersten fünf.“

$p_{\text{nicht fehlerfrei}}=1-\mathrm{0,65}=\mathrm{0,35}p\_\{\backslash text\{nicht\; fehlerfrei\}\}=1-0\{,\}65=0\{,\}35$

$P(E_5)=\underset{\text{5 sind nicht fehlerfrei}}{\underbrace{{\mathrm{0,35}}^5}}\cdot \underset{\text{7 von 10 sind fehlerfrei}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)\cdot {\mathrm{0,65}}^7\cdot {\mathrm{0,35}}^3}}\approx \mathrm{0,00132}P(E\_5)=\backslash underbrace\{0\{,\}35^5\}\_\{\backslash text\{5\; sind\; nicht\; fehlerfrei\}\}\backslash cdot\backslash underbrace\{\backslash begin\{pmatrix\}10\backslash \backslash 7\backslash end\{pmatrix\}\backslash cdot\; 0\{,\}65^7\backslash cdot\; 0\{,\}35^\{3\}\}\_\{\backslash text\{7\; von\; 10\; sind\; fehlerfrei\}\}\backslash approx0\{,\}00132$

$E_{6}E\_6$: „Mindestens 10, aber weniger als 14 Bälle sind fehlerfrei.“

$P(E_6)=P(10\le X\le 13)=F(15;\mathrm{0,65};13)-F(15;\mathrm{0,65};10)\approx \mathrm{0,98582}-\mathrm{0,43572}=\mathrm{0,55010}P(E\_6)=P(10\backslash leq\; X\; \backslash leq\; 13)=F(15;0\{,\}65;13)-F(15;0\{,\}65;10)\backslash approx0\{,\}98582-0\{,\}43572=0\{,\}55010$

$E_{7}E\_7$: „Nur 2 entnommene Bälle sind fehlerhaft und diese folgen nacheinander.“

Anordnung der Bälle:

$\underset{\text{2 sind nicht fehlerfrei}}{\underbrace{--}}\underset{\text{13 sind fehlerfrei}}{\underbrace{+++++++++++++}}\backslash underbrace\{--\}\_\{\backslash text\{2\; sind\; nicht\; fehlerfrei\}\}\backslash underbrace\{+++++++++++++\}\_\{\backslash text\{13\; sind\; fehlerfrei\}\}$

$+--+++++++++++++--++++++++++++$

$++--+++++++++++++--+++++++++++$

.

. $\Rightarrow 14\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;14$ mögliche Anordnungen

.

$+++++++++++++--+++++++++++++--$

$P(E_7)=14\cdot {\mathrm{0,65}}^{13}\cdot {\mathrm{0,35}}^2\approx \mathrm{0,00634}P(E\_7)=14\backslash cdot\; 0\{,\}65^\{13\}\backslash cdot\; 0\{,\}35^2\backslash approx0\{,\}00634$