Zeige rechnerisch, dass das Dreieck $BCDBCD$ rechtwinklig ist

Im Dreieck $BCDBCD$ gilt der Satz des Pythagoras:

$\mathrm{\mid }\overline{BD}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overline{BC}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overline{CD}{\mathrm{\mid }}^2\Rightarrow 5^2+{12}^2={13}^2|\backslash overline\{BD\}|^2+|\backslash overline\{BC\}|^2=|\backslash overline\{CD\}|^2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;5^2+12^2=13^2$

$\Rightarrow 25+144=169\Rightarrow 169=169\mathrm{✓}\backslash Rightarrow\backslash ;25+144=169\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;169=169\backslash ;\backslash checkmark$

Damit ist gezeigt, dass das Dreieck $BCDBCD$ rechtwinklig ist.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AD}\backslash overline\{AD\}$

Die Länge der Strecke $\overline{AD}\backslash overline\{AD\}$ ist gesucht. Bekannt ist der dieser Seite gegenüberliegende Winkel $\mathrm{\sphericalangle }DBA={60}^{\circ }\backslash sphericalangle\; DBA\; =\; 60^\backslash circ$ und die Länge der an diesen Winkel anliegenden Seiten $\mathrm{\mid }\overline{AB}\mathrm{\mid }=8\mathrm{c}\mathrm{m}|\backslash overline\{AB\}|=8\; \backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$ und $\mathrm{\mid }\overline{BD}\mathrm{\mid }=5\mathrm{c}\mathrm{m}|\backslash overline\{BD\}|=\; 5\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$.$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ Kosinussatz anwenden

$\mathrm{\mid }\overline{AD}\mathrm{\mid }=\sqrt{8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos {60}^{\circ }}=\sqrt{49}=7|\backslash overline\{AD\}|=\; \backslash sqrt\{8^2+5^2-2\backslash cdot\; 8\backslash cdot\; 5\backslash cdot\backslash cos\; 60^\backslash circ\}=\backslash sqrt\{49\}=7$

Die Länge der Strecke $\overline{AD}\backslash overline\{AD\}$ beträgt $7\mathrm{c}\mathrm{m}7\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$.