Bilde das Gegenereignis.

$P(\text{„Mindestens einer der Schmuggler}P(\backslash text\{„Mindestens\; einer\; der\; Schmuggler\}$

$\text{wird entdeckt“})\backslash ;\backslash text\{wird\; entdeckt“\})$

$=1-P(\text{„Keiner der Schmuggler}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{t}\text{“})=1-P(\backslash text\{„Keiner\; der\; Schmuggler\}\backslash ;\backslash mathrm\{wird\backslash ;entdeckt“)\}$

18 von 20 Personen an Bord sind keine Schmuggler. Die Chance, dass bei der ersten Kontrolle also keiner der Schmuggler entdeckt wird, ist $\frac{18}{20}\backslash frac\{18\}\{20\}$. Bei der nächsten Kontrolle können nur noch 19 Personen kontrolliert werden, von denen 2 Schmuggler sind. Also ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{17}{19}\backslash frac\{17\}\{19\}$. Bei der dritten Kontrolle ist es genauso.

$1-P(\text{„Keiner der Schmuggler}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{t}\text{“})=1-P(\backslash text\{„Keiner\; der\; Schmuggler\}\backslash ;\backslash mathrm\{wird\backslash ;entdeckt“)\}\; =$ $1-(\frac{18}{20}\cdot \frac{17}{19}\cdot \frac{16}{18})=\frac{27}{95}\approx \mathrm{28,4}\mathrm{\%}1-\backslash left(\backslash frac\{18\}\{20\}\backslash cdot\backslash frac\{17\}\{19\}\backslash cdot\backslash frac\{16\}\{18\}\backslash right)=\backslash frac\{27\}\{95\}\backslash approx28\{,\}4\backslash ,\backslash \%$

$P(\text{„Felix wird entdeckt“})=P(\backslash text\{„Felix\; wird\; entdeckt“\})=$

$=\underset{\text{bei der 1. Kontrolle}}{\underbrace{\frac{1}{20}}}+\underset{\text{bei der 2. Kontrolle}}{\underbrace{(\frac{19}{20}\cdot \frac{1}{19})}}=\backslash underbrace\{\backslash frac1\{20\}\}\_\backslash text\{bei\; der\; 1.\; Kontrolle\}+\backslash underbrace\{\backslash left(\backslash frac\{19\}\{20\}\backslash cdot\backslash frac1\{19\}\backslash right)\}\_\backslash text\{bei\; der\; 2.\; Kontrolle\}$$+\underset{\text{bei der 3. Kontrolle}}{\underbrace{(\frac{19}{20}\cdot \frac{18}{19}\cdot \frac{1}{18})}}=+\backslash underbrace\{\backslash left(\backslash frac\{19\}\{20\}\backslash cdot\backslash frac\{18\}\{19\}\backslash cdot\backslash frac1\{18\}\backslash right)\}\_\backslash text\{bei\; der\; 3.\; Kontrolle\}=$

$=\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}==\backslash frac1\{20\}+\backslash frac1\{20\}+\backslash frac1\{20\}=$

$=\frac{3}{20}=\mathrm{0,15}=15\mathrm{\%}=\backslash frac3\{20\}=0\{,\}15=15\backslash ,\backslash \%$

$P={\displaystyle \frac{\text{Anzahl g}\ddot{\text{u}}\text{nstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl m}\ddot{\text{o}}\text{glicher Ergebnisse}}}P=\backslash dfrac\{\backslash text\{Anzahl\; günstiger\; Ergebnisse\}\}\{\backslash text\{Anzahl\; möglicher\; Ergebnisse\}\}$

Berechne die Anzahl der möglicher Ergebnisse aus.

Es gibt $\left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}20\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}$ Möglichkeiten, $33$ Menschen aus $2020$ auszuwählen.

Es gibt 18 Möglichkeiten, eine dritte Person auszuwählen. Daher gibt es $1818$ günstige Ergebnisse.

${\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\cdot 18}{\left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)}}={\displaystyle \frac{1\cdot 18}{{\displaystyle \frac{20!}{17!\cdot 3!}}}}=\frac{18}{1140}\approx \mathrm{0,016}\approx \mathrm{1,6}\mathrm{\%}\backslash dfrac\{\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\backslash cdot18\}\{\backslash begin\{pmatrix\}20\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}\}=\backslash dfrac\{1\backslash cdot18\}\{\backslash displaystyle\backslash frac\{20!\}\{17!\backslash cdot3!\}\}=\backslash frac\{18\}\{1140\}\backslash approx0\{,\}016\backslash approx1\{,\}6\backslash ,\backslash \%$