Bilde das Gegenereignis.

$P(\text{„Mindestens einer der Schmuggler}$

$\;\text{wird entdeckt“})$

$=1-P(\text{„Keiner der Schmuggler}\;\mathrm{wird\;entdeckt“)}$

18 von 20 Personen an Bord sind keine Schmuggler. Die Chance, dass bei der ersten Kontrolle also keiner der Schmuggler entdeckt wird, ist $\frac{18}{20}$. Bei der nächsten Kontrolle können nur noch 19 Personen kontrolliert werden, von denen 2 Schmuggler sind. Also ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{17}{19}$. Bei der dritten Kontrolle ist es genauso.

$1-P(\text{„Keiner der Schmuggler}\;\mathrm{wird\;entdeckt“)} =$ $1-\left(\frac{18}{20}\cdot\frac{17}{19}\cdot\frac{16}{18}\right)=\frac{27}{95}\approx28{,}4\,\%$

$P(\text{„Felix wird entdeckt“})=$

$=\underbrace{\frac1{20}}_\text{bei der 1. Kontrolle}+\underbrace{\left(\frac{19}{20}\cdot\frac1{19}\right)}_\text{bei der 2. Kontrolle}$$+\underbrace{\left(\frac{19}{20}\cdot\frac{18}{19}\cdot\frac1{18}\right)}_\text{bei der 3. Kontrolle}=$

$=\frac1{20}+\frac1{20}+\frac1{20}=$

$=\frac3{20}=0{,}15=15\,\%$

$P=\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}$

Berechne die Anzahl der möglicher Ergebnisse aus.

Es gibt $\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix}$ Möglichkeiten, $3$ Menschen aus $20$ auszuwählen.

Es gibt 18 Möglichkeiten, eine dritte Person auszuwählen. Daher gibt es $18$ günstige Ergebnisse.

$\dfrac{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\cdot18}{\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix}}=\dfrac{1\cdot18}{\displaystyle\frac{20!}{17!\cdot3!}}=\frac{18}{1140}\approx0{,}016\approx1{,}6\,\%$