Um die leeren Felder der Tabelle zu füllen, betrachtet man die Anzahl der Wölfe zu Beginn $(1200)(1200)$ als den Grundwert $(G)(G)$ und die $16\mathrm{\%}16\; \backslash \%$ Zuwachs als den Prozentsatz $(p)(p)$. Gesucht ist dann also der Prozentwert $(W)(W)$.

Dabei muss man beachten, dass es sich um $16\mathrm{\%}16\; \backslash \%$ Zuwachs handelt, der Prozentwert ist also größer als der Grundwert. Das heißt, dass man zuerst die Anzahl an Wölfen die dazukommt berechnet, also Grundwert multipliziert mit Prozentsatz, und dann den Grundwert addiert:

Alternativ kann man auch direkt mit $116\mathrm{\%}116\; \backslash \%$ (bzw. $\mathrm{1,16}1\{,\}16$) für den Prozentsatz einsetzen:

Nach einem Jahr leben also $13921392$ Wölfe in Deutschland. Um die Anzahl nach zwei Jahren zu berechnen, nimmt man jetzt die Anzahl an Wölfen nach einem Jahr als neuen Grundwert und führt dieselbe Rechnung durch und so weiter.

Daraus ergibt sich dann folgende Tabelle:

Zuerst muss man überlegen, welche Variable der Funktion $f(x)=a\cdot c^{x}f(x)\; =\; a\; \backslash cdot\; c^x$ welchen Wert des Sachverhaltes darstellt:

• $aa$ ist der Anfangswert, also $12001200$

• $cc$ ist der Zuwachsfaktor, also $\mathrm{1,16}1\{,\}16$

• $xx$ gibt die vergangene Zeit in Jahren an

Jetzt kann man die Funktion aufstellen: $f(x)=1200\cdot {\mathrm{1,16}}^{x}f(x)\; =\; 1200\; \backslash cdot\; 1\{,\}16^x$

Zuerst muss man berechnen, wie viele Jahre seit dem Beginn der Aufzeichnung vergangen sind. Der Beginn des Jahres 2022 entspricht $00$ vergangenen Jahren. Zieht man von 2022 von 2032 ab, so erhält man die vergangene Zeit in Jahren:

$2032-2022=102032\; -\; 2022\; =\; 10$.

Diese Zahl muss man jetzt nur noch für $xx$ in die Funktion einsetzen:

$f(10)=1200\cdot {\mathrm{1,16}}^{10}=\mathrm{5293,722094}\approx 5294f(10)\; =\; 1200\; \backslash cdot\; 1\{,\}16^\{10\}\; =\; 5293\{,\}722094\; \backslash approx\; 5294$

Zu Beginn 2032 befinden sich also ca. $52945294$ Wölfe in Deutschland.

Zuerst berechnet man die Funktionswerte der Funktion $f(x)f(x)$ für die $xx$-Werte $11$ bis $77$, dann markiert man diese im Koordinatensystem:

Zuerst muss man berechnen, wie hoch der dreifache Wert der Anzahl der Wölfe im Jahr 2022 ist:

$1200\cdot 3=36001200\; \backslash cdot\; 3\; =\; 3600$

Nun zeichnet man bei dem Koordinatensystem aus Teilaufgabe d) mit einem Lineal eine waagrechte Linie bei $y=3600y\; =\; 3600$ ein, und dort wo sie den Graphen schneidet, zieht man eine senkrechte Linie bis zur x-Achse:

Damit lässt sich bestimmen, dass sich die Anzahl der Wölfe nach ca. $\mathrm{7,4}7\{,\}4$ Jahren verdreifacht hat.

Berechnet man die Anzahl an Wölfen nach $1010$ Jahren mithilfe von Claudias Überlegung, so ergibt sich:

$1200\cdot \mathrm{1,6}=19201200\; \backslash cdot\; 1\{,\}6\; =\; 1920$

In der Teilaufgabe c) hat sich aber gezeigt, dass es sich nach $1010$ Jahren tatsächlich um ca. $52945294$ Wölfe handelt.

Claudias Überlegung ist falsch, da sie nicht berücksichtigt hat, dass es sich bei der Zunahme der Anzahl der Wölfe um eine exponentiell steigende Funktion handelt. In ihrer Rechnung nimmt sie einfach zehnmal $16\mathrm{\%}16\backslash \%$ von den $12001200$ Wölfen und addiert diese auf den Ursprungswert.

Die Anzahl an Wölfen nimmt jedes Jahr zu. Das bedeutet, dass auch $16\mathrm{\%}16\; \backslash \%$ von dieser Menge jedes Jahr mehr ist.

$16\mathrm{\%}16\; \backslash \%$ von $1392>16\mathrm{\%}1392\; >\; 16\; \backslash \%$ von $12001200$

$16\mathrm{\%}16\; \backslash \%$ von $1392=\mathrm{18,56}\mathrm{\%}1392\; =\; 18\{,\}56\; \backslash \%$ von $12001200$

Nimmt man also immer den Anfangswert als Grundwert, muss der Prozentsatz bei jedem Rechenschritt erhöht werden.

Um die tatsächliche prozentuelle Zunahme zu berechnen, benutzt man den Wert, der auch schon in der Funktion benutzt wurde und potenziert ihn mit $1010$:

${\mathrm{1,16}}^{10}\approx \mathrm{4,4114}1\{,\}16^\{10\}\; \backslash approx\; 4\{,\}4114$

Der prozentuelle Zuwachs beträgt also ca. $\mathrm{441,14}\mathrm{\%}441\{,\}14\; \backslash \%$.

Berechnung der Gesamtanzahl der gestorbenen Wölfe

Um zu berechnen, wie viele der gestorbenen Wölfe von Autos überfahren wurden, braucht man die Gesamtanzahl der gestorbenen Wölfe.

Diese ermittelt man, indem man die Anzahl der gestorbenen Wölfe berechnet, die nicht von Autos überfahren wurden.

$\text{Anzahl aufgefundener W}\ddot{\text{o}}\text{lfe}-\text{Anzahl von einem Auto }\ddot{\text{u}}\text{berfahrener W}\ddot{\text{o}}\text{lfe}=159-125=\underset{‾}{\underset{‾}{34}}\backslash text\{Anzahl\; aufgefundener\; Wölfe\}\; -\; \backslash text\{Anzahl\; von\; einem\; Auto\; überfahrener\; Wölfe\}\; =\; 159\; -\; 125\; =\; \backslash underline\{\backslash underline\{34\}\}$

Es wurden also $3434$ Wölfe aufgefunden, die nicht von Autos überfahren wurden.

Um die Gesamtanzahl der Wölfe zu berechnen, die gestorben sind, aber nicht bei von Autos überfahren wurden, kann man den Dreisatz verwenden:

${\displaystyle \frac{170}{3}}=56,\bar{6}\approx 57\{\backslash dfrac\{170\}\{3\}\}\; =\; 56,\{\backslash overline\; 6\}\; \backslash approx\; 57$

Es sind also ca. $5757$ Wölfe gestorben, ohne von Autos überfahren zu werden.

Damit kann man jetzt die Gesamtanzahl der gestorbenen Wölfe ermitteln:

$125+57=\underset{‾}{\underset{‾}{182}}125\; +\; 57\; =\; \backslash underline\{\backslash underline\{182\}\}$

Anteil der vom Auto überfahrenen Wölfe an der Gesamtanzahl der gestorbenen Wölfe

Nun kann man berechnen, wie viel Prozent der gestorbenen Wölfe von einem Auto überfahren wurden:

${\displaystyle \frac{125}{182}}=\mathrm{0,6}\overline{868131}\approx \mathrm{0,6868}\backslash dfrac\{125\}\{182\}\; =\; 0\{,\}6\backslash overline\{868131\}\; \backslash approx\; 0\{,\}6868$

Ca. $\mathrm{68,68}\mathrm{\%}68\{,\}68\; \backslash \%$ der gestorbenen Wölfe wurden 2022 von einem Auto überfahren.

Funktion aufstellen

Prozentualer Anteil der toten Wölfe im Jahr 2022

Im Jahr 2022 wurden $159159$ von $12001200$ Wölfen tot aufgefunden.

$\frac{159}{1200}=\mathrm{0,1325}\backslash frac\{159\}\{1200\}=0\{,\}1325$

$\mathrm{13,25}13\{,\}25$% von insgesamt $12001200$ Wölfen wurden tot aufgefunden.

Geschätzte Anzahl der toten Wölfe im Jahr 2025

Zu Beginn des Jahres 2025 gab es ca. $18731873$ Wölfe siehe Teilaufgabe a).

$1873\cdot \mathrm{0,1325}\approx 2501873\backslash cdot0\{,\}1325\backslash approx250$

2025 werden voraussichtlich $250250$ Wölfe tot aufgefunden werden.

Anzahl der tot aufgefundenen Wölfe 2025

Nun setzt man für $xx$ den Wert $44$ ein:

$t(4)=138\cdot ({\displaystyle \frac{53}{46}}{)}^4\approx 243t(4)\; =\; 138\; \backslash cdot\; \backslash bigg(\backslash dfrac\{53\}\{46\}\backslash bigg)^\{4\}\; \backslash approx\; 243$

Schätzungsweise werden 2025 etwa $243243$ Wölfe tot aufgefunden werden.

Betrachtung von Möglichkeit 1

Berechnet man die Anzahl der Wölfe in den zukünftigen Jahren, so zeigt sich trotz der niedrigeren Zuwachsrate ein Anstieg:

Schon nach $55$ Jahren ist die Grenze von $500500$ Wölfen überschritten. Diese Methode führt also nicht zum Erfolg.

Betrachtung von Möglichkeit 2

Berechnet man die Anzahl der Wölfe in den zukünftigen Jahren, so zeigt sich im Gegensatz zu Möglichkeit 1 sogar ein Rückgang der Wolfspopulation:

Mit dieser Methode würde man das Ziel zwar erreichen, langfristig aber vermutlich auch die gesamte Wolfspopulation im Land ausrotten.