Teil A: Pflichtteil - lernen mit Serlo!

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Aufgabe 2

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a}(x)=a x^{3}+a x^{2}$ und $a \in \mathbb{R}, a>0$ .

Geben Sie den Wert von $a$ an, sodass der Punkt $(1 ∣ 6)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gib den Wert von $a$ an, sodass der Punkt $(1 ∣ 6)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt
Setze den Punkt $(1 ∣ 6)$ in $f_{a} (x)$ ein:
$6=a\cdot 1^{3}+a\cdot 1^{2}=2\cdot a\;\Rightarrow\;a=3$
Für $a = 3$ liegt der Punkt $(1 ∣ 6)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ .
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Setze den Punkt $(1 ∣ 6)$ in $f_{a} (x)$ ein.
Berechnen Sie in Abhängigkeit von $a$ den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_{a}$ mit der
$x$ -Achse einschließt. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
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Berechne die Nullstellen von $f_{a} (x)$ $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$ .
Berechne das Integral $\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f_a(x)\;\mathrm{d}x$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

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