Teil A: Pflichtteil

Weise nach: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}f\text{'}(x)=\backslash left(x^\{2\}-4\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2\; x+1\}$

Benutze die Produktregel und beachte beim Ableiten der e-Funktion die Kettenregel:

$(u(x)\cdot v(x){)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)\backslash big(u(x)\backslash cdot\; v(x)\backslash big)\text{'}=u\text{'}(x)\backslash cdot\; v(x)+u(x)\backslash cdot\; v\text{'}(x)$

Es ist $u(x)=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}u(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\; x^\{2\}-\backslash frac\{1\}\{2\}\; x-\backslash frac\{7\}\{4\}$ und $v(x)={\mathrm{e}}^{2x+1}v(x)=\; \backslash mathrm\{e\}^\{2\; x+1\}$

Dann ist $u^{\mathrm{\prime }}(x)=x-\frac{1}{2}u\text{'}(x)=x-\backslash frac\{1\}\{2\}$ und $v^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}v\text{'}(x)=\; 2\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2\; x+1\}$

Setze in die Formel für die Produktregel ein.

Dann folgt:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x-\frac{1}{2})\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}+(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{7}{4})\cdot 2\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}f\text{'}(x)=\; \backslash left(x-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2\; x+1\}+\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\; x^\{2\}-\backslash frac\{1\}\{2\}\; x-\backslash frac\{7\}\{4\}\backslash right)\backslash cdot\; 2\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2\; x+1\}$

Vereinfache die Ableitung:

Damit ist gezeigt, dass gilt: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}f\text{'}(x)=\backslash left(x^\{2\}-4\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2\; x+1\}$

Untersuche die Funktion $ff$ auf lokale Extremstellen

Eine lokale Extremstelle $x_{E}x\_E$​ einer differenzierbaren Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung: $f^{\mathrm{\prime }}(x_E\text{})=0f\text{'}(x\_E)=0$.

Es gilt: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}f\text{'}(x)=\backslash left(x^\{2\}-4\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2\; x+1\}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x_E\text{})=0\Rightarrow 0=(x^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2x+1}f\text{'}(x\_E)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=\backslash left(x^\{2\}-4\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2\; x+1\}$

Zur Lösung der Gleichung verwende den Satz vom Nullprodukt:

${\mathrm{e}}^{2x+1}\backslash mathrm\{e\}^\{2\; x+1\}$ ist für alle $x\mathrm{\ne }0x\; \backslash neq\; 0$.

Dann bleibt nur der andere Term, der null werden kann:

$x^2-4=0x^2-4=\; 0$$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ $x_{E_1}=-2x\_\{E\_1\}=-2$ und $x_{E_2}=2x\_\{E\_2\}=2$

Anstatt die zweite Ableitung zu berechnen, kann man auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium die Art einer möglichen Extremstelle $x_E\text{}x\_E$ bestimmen, dabei berechnet man das Monotonieverhalten der Funktion.

Berechne die Ableitungen an den Stellen $x=-3x=-3$, $x=0x=0$ und $x=3x=3$.

$f^{\mathrm{\prime }}(-3)=((-3{)}^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2\cdot (-3)+1}=5\cdot {\mathrm{e}}^{-5}>0f\text{'}(-3)=((-3)^2-4)\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2\backslash cdot(-3)+1\}=5\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-5\}>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(3)=(3^2-4)\cdot {\mathrm{e}}^{2\cdot 3+1}=5\cdot {\mathrm{e}}^7>0f\text{'}(3)=(3^2-4)\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{2\backslash cdot\; 3+1\}=5\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{7\}>0$

An der Stelle $x_{E_1}=-2x\_\{E\_1\}=-2$ gibt es einen Vorzeichenwechsel von $+\mapsto -+\backslash mapsto\; -$, d.h. bei$x_{E_1}=-2x\_\{E\_1\}=-2$ liegt ein lokales Maximum vor.

An der Stelle $x_{E_2}=2x\_\{E\_2\}=2$ gibt es einen Vorzeichenwechsel von $-\mapsto +-\backslash mapsto\; +$, d.h. bei$x_{E_2}=2x\_\{E\_2\}=2$ liegt ein lokales Minimum vor.

Gib den Wert von $aa$ an, sodass der Punkt $(1\mathrm{\mid }6)(1|6)$ auf dem Graphen von $f_{a}f\_\{a\}$ liegt

Setze den Punkt $(1\mathrm{\mid }6)(1|6)$ in $f_a(x)f\_a(x)$ ein:

$6=a\cdot 1^3+a\cdot 1^2=2\cdot a\Rightarrow a=36=a\backslash cdot\; 1^\{3\}+a\backslash cdot\; 1^\{2\}=2\backslash cdot\; a\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=3$

Für $a=3a=3$ liegt der Punkt $(1\mathrm{\mid }6)(1|6)$ auf dem Graphen von $f_{a}f\_\{a\}$.

Ermittele eine Gleichung von $EE$ in Koordinatenform

Um eine Ebene in Parameterform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, berechnet man den zugehörigen Normalenvektor $\vec{n}\backslash vec\; n$, wählt einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $\vec{a}\backslash vec\; a$ und setzt beide Vektoren in die allgemeine Normalform ein.

$\vec{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ -2\end{array}\right)=2\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)\backslash vec\; n=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 2\backslash \backslash -4\backslash end\{pmatrix\}\backslash times\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}6\backslash \backslash -4\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}=2\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash -2\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}$

Mit $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)\backslash vec\; a=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash -2\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}$ folgt dann:

$E:(\vec{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right))\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)=0E:\backslash left(\backslash vec\; x-\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash -2\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}\backslash right)\backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash -2\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}=0$

Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, multipliziert man das vorliegende Skalarprodukt aus und fasst den erhaltenen Term zusammen.

$E:3x_1-2x_2-x_3-(1\cdot 3+(-2)\cdot (-2)+3\cdot (-1))=3x_1-2x_2-x_3-4=0E:\; 3x\_1-2x\_2-x\_3-\backslash left(1\backslash cdot\; 3+(-2)\backslash cdot\; (-2)\; +3\; \backslash cdot\; (-1)\backslash right)=3x\_1-2x\_2-x\_3-4=0$

$E:3x_1-2x_2-x_3-4=0\Rightarrow E:3x_1-2x_2-x_3=4E:\; 3x\_1-2x\_2-x\_3-4=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; E:\; 3x\_1-2x\_2-x\_3=4$

Wird die Gleichung noch mit $-1-1$ multipliziert, erhält man, wie angegeben:

$E:-3\cdot x_1+2\cdot x_2+x_3=-4E:-3\; \backslash cdot\; x\_\{1\}+2\; \backslash cdot\; x\_\{2\}+x\_\{3\}=-4$

Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $EE$ und der Gerade $gg$

Gegeben sind $E:-3\cdot x_1+2\cdot x_2+x_3=-4E:-3\; \backslash cdot\; x\_\{1\}+2\; \backslash cdot\; x\_\{2\}+x\_\{3\}=-4$ und $g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)g:\; \backslash vec\{x\}=\backslash begin\{pmatrix\}-1\; \backslash \backslash -2\; \backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}+t\; \backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}-3\; \backslash \backslash 2\; \backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$

Setze $gg$ in $EE$ ein:

Setze $t=0t=0$ in $gg$ ein:

$\vec{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)+0\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)\backslash vec\{x\}=\backslash begin\{pmatrix\}-1\; \backslash \backslash -2\; \backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}+0\; \backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}-3\; \backslash \backslash 2\; \backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}-1\; \backslash \backslash -2\; \backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}$

Die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $EE$ und der Gerade $gg$ sind:

$S(-1\mid -2\mid -3)S(-1\backslash mid-2\backslash mid-3)$

Begründe, dass $XX$ und $YY$die gleiche Standardabweichung haben

Es gilt: $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\backslash sigma=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\backslash cdot\; (1-p)\}$ mit $n=20n=20$.

Die Anzahl der blauen Sektoren ist $b\Rightarrow p_{\text{blau}}={\displaystyle \frac{b}{20}}b\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;p\_\{\backslash text\{blau\}\}=\backslash dfrac\{b\}\{20\}$.

Dann ist:

$(1-p_{\text{blau}})=1-{\displaystyle \frac{b}{20}}=p_{\text{gelb}}\Rightarrow 1-p_{\text{gelb}}={\displaystyle \frac{b}{20}}=p_{\text{blau}}(1-p\_\{\backslash text\{blau\}\})=1-\backslash dfrac\{b\}\{20\}=p\_\{\backslash text\{gelb\}\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;1-p\_\{\backslash text\{gelb\}\}=\backslash dfrac\{b\}\{20\}=p\_\{\backslash text\{blau\}\}$

Eingesetzt in die $\sigma \backslash sigma$-Gleichung folgt:

${\sigma }_{\text{blau}}=\sqrt{n\cdot p_{\text{blau}}\cdot (1-p_{\text{blau}})}=\sqrt{n\cdot (1-p_{\text{gelb}})\cdot p_{\text{gelb}}}=\sqrt{n\cdot p_{\text{gelb}}\cdot (1-p_{\text{gelb}})}={\sigma }_{\text{gelb}}\backslash sigma\_\{\backslash text\{blau\}\}=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\_\{\backslash text\{blau\}\}\backslash cdot\; (1-p\_\{\backslash text\{blau\}\})\}=\backslash sqrt\{n\backslash cdot(1-p\_\{\backslash text\{gelb\}\})\backslash cdot\; p\_\{\backslash text\{gelb\}\}\}=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\_\{\backslash text\{gelb\}\}\backslash cdot(1-p\_\{\backslash text\{gelb\}\})\}=\backslash sigma\_\{\backslash text\{gelb\}\}$

Bestimme die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads

Der Wert, den die Zufallsvariable am wahrscheinlichsten annimmt, ist gleich der Erwartungswert. Diesen Wert kann man in der Abbildung ablesen, der höchste Balken ist bei der Zahl $7575$.

$\Rightarrow E(X)=75\backslash Rightarrow\; E(X)\; =\; 75$

Der Erwartungswert ist bei einer Binomialverteilung als Produkt aus $nn$ und $pp$ definiert.

$\Rightarrow E(X)=n\cdot p=100\cdot p\backslash Rightarrow\; E(X)\; =\; n\; \backslash cdot\; p\; =\; 100\; \backslash cdot\; p$

Jetzt kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen:

Die Zufallsvariable $XX$ hat also eine Trefferwahrscheinlichkeit $pp$ von $\mathrm{0,75}0\{,\}75$. Da das Glücksrad insgesamt $2020$ gleich große Felder hat, müssen $20\cdot \mathrm{0,75}=1520\; \backslash cdot\; 0\{,\}75\; =\; 15$ davon blau sein.