Teil A: Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{7}{4}) \cdot e^{2 x + 1}, x \in ℝ$ .

Weisen Sie nach: $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Weise nach: $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$
Benutze die Produktregel und beachte beim Ableiten der e-Funktion die Kettenregel:
$(u (x) \cdot v (x))^{'} = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$
Es ist $u (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{7}{4}$ und $v (x) = e^{2 x + 1}$
Dann ist $u^{'} (x) = x - \frac{1}{2}$ und $v^{'} (x) = 2 \cdot e^{2 x + 1}$
Setze in die Formel für die Produktregel ein.
Dann folgt:
$f^{'} (x) = (x - \frac{1}{2}) \cdot e^{2 x + 1} + (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{7}{4}) \cdot 2 \cdot e^{2 x + 1}$
Vereinfache die Ableitung:
$f^{'} (x)$ $=$ $(x - \frac{1}{2}) \cdot e^{2 x + 1} + (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{7}{4}) \cdot 2 \cdot e^{2 x + 1}$
↓
Klammere $e^{2 x + 1}$ aus. Multipliziere die $2$ in die hintere Klammer.
$=$ $e^{2 x + 1} (x - \frac{1}{2} + x^{2} - x - \frac{7}{2})$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $e^{2 x + 1} (x^{2} - 4)$
Damit ist gezeigt, dass gilt: $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$
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Benutze die Produktregel und beachte beim Ableiten der e-Funktion die Kettenregel.
Untersuchen Sie die Funktion $f$ auf lokale Extremstellen. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Untersuche die Funktion $f$ auf lokale Extremstellen
Eine lokale Extremstelle $x_{E}$ einer differenzierbaren Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung: $f^{'} (x_{E} ) = 0$ .
Es gilt: $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$
$f^{'} (x_{E} ) = 0 \Rightarrow 0 = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$
Zur Lösung der Gleichung verwende den Satz vom Nullprodukt:
$e^{2 x + 1}$ ist für alle $x \neq 0$ .
Dann bleibt nur der andere Term, der null werden kann:
$x^{2} - 4 = 0$ $\Rightarrow$ $x_{E_{1}} = - 2$ und $x_{E_{2}} = 2$
Anstatt die zweite Ableitung zu berechnen, kann man auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium die Art einer möglichen Extremstelle $x_{E} $ bestimmen, dabei berechnet man das Monotonieverhalten der Funktion.
Gegebenen ist $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$ .
Das Vorzeichen von $f^{'} (x)$ wird vom Faktor $(x^{2} - 4)$ bestimmt, da $e^{2 x + 1}$ für alle $x \in ℝ > 0$ ist.
Für $x_{E_{1}} = - 2$ gilt: $- 3 \leq x_{E_{1}} \leq 0$ und für $x_{E_{2}} = 2$ gilt: $0 \leq x_{E_{2}} \leq 3$ .
Berechne die Ableitungen an den Stellen $x = - 3$ , $x = 0$ und $x = 3$ .
Betrachte nur den Term $(x^{2} - 4)$ :
$((- 3)^{2} - 4) = 9 - 4 = 5 > 0 \Rightarrow f^{'} (- 3) > 0$
$(0^{2} - 4) = - 4 < 0 \Rightarrow f^{'} (0) < 0$
$(3^{2} - 4) = 9 - 4 = 5 > 0 \Rightarrow f^{'} (3) > 0$
An der Stelle $x_{E_{1}} = - 2$ gibt es einen Vorzeichenwechsel von $+ \to -$ , d.h. bei $x_{E_{1}} = - 2$ liegt ein lokales Maximum vor.
An der Stelle $x_{E_{2}} = 2$ gibt es einen Vorzeichenwechsel von $- \to +$ , d.h. bei $x_{E_{2}} = 2$ liegt ein lokales Minimum vor.
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Eine lokale Extremstelle $x_{E}$ einer differenzierbaren Funktion ist eine Nullstelle der ersten Ableitung. Berechne $f^{'} (x_{E} ) = 0$ .
Bestimme mit dem Vorzeichenwechselkriterium die Art einer möglichen Extremstelle $x_{E} $ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$f^{'} (x)$	$=$	$(x - \frac{1}{2}) \cdot e^{2 x + 1} + (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{7}{4}) \cdot 2 \cdot e^{2 x + 1}$
	↓	Klammere $e^{2 x + 1}$ aus. Multipliziere die $2$ in die hintere Klammer.
	$=$	$e^{2 x + 1} (x - \frac{1}{2} + x^{2} - x - \frac{7}{2})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$e^{2 x + 1} (x^{2} - 4)$

Aufgabe 1

Weise nach: f′(x)=(x2−4)⋅e2x+1

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Untersuche die Funktion f auf lokale Extremstellen

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Weise nach: $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 1}$

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