Teil A: Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Gegeben ist die Ebene $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ - 4 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), r, s \in ℝ$ .

Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
$[$ Mögliche Lösung: $E : - 3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = - 4$ . $]$ (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Ermittele eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform
Um eine Ebene in Parameterform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, berechnet man den zugehörigen Normalenvektor $\vec{n}$ , wählt einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $\vec{a}$ und setzt beide Vektoren in die allgemeine Normalform ein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ - 4 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) = 2 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
Mit $\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array})$ folgt dann:
$E : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) = 0$
Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, multipliziert man das vorliegende Skalarprodukt aus und fasst den erhaltenen Term zusammen.
$E : 3 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} - (1 \cdot 3 + (- 2) \cdot (- 2) + 3 \cdot (- 1)) = 3 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} - 4 = 0$
$E : 3 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} - 4 = 0 \Rightarrow E : 3 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} = 4$
Wird die Gleichung noch mit $- 1$ multipliziert, erhält man, wie angegeben:
$E : - 3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = - 4$
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Um eine Ebene in Parameterform in die entsprechende Normalform umzuwandeln, berechnet man den zugehörigen Normalenvektor $\vec{n}$ , wählt einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $\vec{a}$ und setzt beide Vektoren in die allgemeine Normalform ein.
Um eine Ebene in Normalform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, multipliziert man das vorliegende Skalarprodukt aus und fasst den erhaltenen Term zusammen.
Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $E$ und der Gerade
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}), t \in ℝ$ (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $E$ und der Gerade $g$
Gegeben sind $E : - 3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = - 4$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
Setze $g$ in $E$ ein:
$E : - 3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3}$ $=$ $- 4$
↓
Setze $g$ in $E$ ein.
$- 3 (- 1 - 3 t) + 2 (- 2 + 2 t) + (- 3 + t)$ $=$ $- 4$
↓
Löse die Klammern auf.
$3 + 9 t - 4 + 4 t - 3 + t$ $=$ $- 4$
↓
Fasse zusammen.
$14 t - 4$ $=$ $- 4$ $+ 4$
$14 t$ $=$ $0$ $: 14$
$t$ $=$ $0$
Setze $t = 0$ in $g$ ein:
$\vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) + 0 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$
Die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $E$ und der Gerade $g$ sind:
$S (- 1 | - 2 | - 3)$
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Setze $g$ in $E$ ein $\Rightarrow t_{1}$ .
Setze $t_{1}$ in $g$ ein.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$E : - 3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3}$	$=$	$- 4$
	↓	Setze $g$ in $E$ ein.
$- 3 (- 1 - 3 t) + 2 (- 2 + 2 t) + (- 3 + t)$	$=$	$- 4$
	↓	Löse die Klammern auf.
$3 + 9 t - 4 + 4 t - 3 + t$	$=$	$- 4$
	↓	Fasse zusammen.
$14 t - 4$	$=$	$- 4$	$+ 4$
$14 t$	$=$	$0$	$: 14$
$t$	$=$	$0$

Aufgabe 3

Ermittele eine Gleichung von E in Koordinatenform

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Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene E und der Gerade g

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Ermittele eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform

Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Ebene $E$ und der Gerade $g$