Begründe, dass $XX$ und $YY$die gleiche Standardabweichung haben

Es gilt: $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\backslash sigma=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\backslash cdot\; (1-p)\}$ mit $n=20n=20$.

Die Anzahl der blauen Sektoren ist $b\Rightarrow p_{\text{blau}}={\displaystyle \frac{b}{20}}b\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;p\_\{\backslash text\{blau\}\}=\backslash dfrac\{b\}\{20\}$.

Dann ist:

$(1-p_{\text{blau}})=1-{\displaystyle \frac{b}{20}}=p_{\text{gelb}}\Rightarrow 1-p_{\text{gelb}}={\displaystyle \frac{b}{20}}=p_{\text{blau}}(1-p\_\{\backslash text\{blau\}\})=1-\backslash dfrac\{b\}\{20\}=p\_\{\backslash text\{gelb\}\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;1-p\_\{\backslash text\{gelb\}\}=\backslash dfrac\{b\}\{20\}=p\_\{\backslash text\{blau\}\}$

Eingesetzt in die $\sigma \backslash sigma$-Gleichung folgt:

${\sigma }_{\text{blau}}=\sqrt{n\cdot p_{\text{blau}}\cdot (1-p_{\text{blau}})}=\sqrt{n\cdot (1-p_{\text{gelb}})\cdot p_{\text{gelb}}}=\sqrt{n\cdot p_{\text{gelb}}\cdot (1-p_{\text{gelb}})}={\sigma }_{\text{gelb}}\backslash sigma\_\{\backslash text\{blau\}\}=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\_\{\backslash text\{blau\}\}\backslash cdot\; (1-p\_\{\backslash text\{blau\}\})\}=\backslash sqrt\{n\backslash cdot(1-p\_\{\backslash text\{gelb\}\})\backslash cdot\; p\_\{\backslash text\{gelb\}\}\}=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\_\{\backslash text\{gelb\}\}\backslash cdot(1-p\_\{\backslash text\{gelb\}\})\}=\backslash sigma\_\{\backslash text\{gelb\}\}$

Bestimme die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads

Der Wert, den die Zufallsvariable am wahrscheinlichsten annimmt, ist gleich der Erwartungswert. Diesen Wert kann man in der Abbildung ablesen, der höchste Balken ist bei der Zahl $7575$.

$\Rightarrow E(X)=75\backslash Rightarrow\; E(X)\; =\; 75$

Der Erwartungswert ist bei einer Binomialverteilung als Produkt aus $nn$ und $pp$ definiert.

$\Rightarrow E(X)=n\cdot p=100\cdot p\backslash Rightarrow\; E(X)\; =\; n\; \backslash cdot\; p\; =\; 100\; \backslash cdot\; p$

Jetzt kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen:

Die Zufallsvariable $XX$ hat also eine Trefferwahrscheinlichkeit $pp$ von $\mathrm{0,75}0\{,\}75$. Da das Glücksrad insgesamt $2020$ gleich große Felder hat, müssen $20\cdot \mathrm{0,75}=1520\; \backslash cdot\; 0\{,\}75\; =\; 15$ davon blau sein.