Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung f(x)=x4−x3−x2.
Bestimme die lokalen Extrema.
Bei der Lösung einer quadratischen Gleichung und bei den Funktionswerten kannst du einen Rechner verwenden.
Wir benötigen die ersten beiden Ableitungen:
f′(x)=4x3−3x2−2x
f′′(x)=12x2−6x−2
Damit ein lokales Extremum vorliegt, muss die erste Ableitung Null sein.
0=4x3−3x2−2x
Klammert man hier x aus, bekommt man drei Kandidaten:
0=x(4x2−3x−2)
x1=−0.4254
x2≈0
x3≈1.1754
Damit haben wir drei Kandidaten. Wenn nun noch die zweite Ableitung ungleich Null ist, haben wir ein Extremum gefunden. Wenn die zweite Ableitung gleich Null ist, kann es immer noch ein Extremum sein. Wir benötigen dann das Vorzeichenwechselkriterium.
f′′(−0.4254)=2.7240>0
Die zweite Ableitung ist größer Null, es muss also ein Minimum vorliegen.
f′′(0) ≈−2<0
Die zweite Ableitung ist kleiner Null, es muss also ein Maximum vorliegen.
f′′(1.1754) ≈7.5262>0
Die zweite Ableitung ist größer Null, es muss also ein Minimum vorliegen.
Für die Extrema benötigen wir noch die y-Werte. Dazu setzen wir die gefundenen x-Werte in die Funktionsgleichung ein:
f(−0.4254)≈−0.0712
f(0)=0
f(1.1754)≈−1.0967
Die Funktion hat drei Extrema:
Min1(−0.4254∣−0.0712)
Max(0∣0)
Min2(1.1754∣−1.0967)
Bilde die ersten beiden Ableitungen und suche die Nullstellen der ersten.
