Berechnen des Winkels $\beta \backslash beta$ mit Hilfe des Tangens.

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\beta )={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{tan(\backslash beta)=\backslash dfrac\{Gegenkathete\}\{Ankathete\}\}$

Im Dreieck $\text{ABC }\backslash text\{ABC\}\backslash$gilt: $\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{b}=5\text{ cm}\backslash \; \backslash mathrm\{Gegenkathete=b=5\backslash cm\}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{a}=\mathrm{7,5}\text{ cm}\backslash hspace\{35mm\}\backslash mathrm\{Ankathete=a=7\{,\}5\backslash cm\}$

Setze die Werte in die Formel ein und berechne den Winkel $\beta \backslash beta$.

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\beta )={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{7,5}}}\Rightarrow \beta \approx {\mathrm{33,7}}^{\circ }\backslash mathrm\{tan(\backslash beta)=\backslash dfrac\{5\}\{7\{,\}5\}\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash beta\backslash approx33\{,\}7^\backslash circ$

Der Winkel $\beta \backslash beta$ beträgt ungefähr $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{33,7}}^{\circ }}}\backslash \; \backslash boxed\{33\{,\}7^\backslash circ\}$

Berechnen der Länge der Strecke $\text{w}\backslash text\{w\}$ mit Hilfe des Kosinus.

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\displaystyle \frac{\beta }{2}}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{cos\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash beta\}\{2\}\backslash right)=\backslash dfrac\{Ankathete\}\{Hypotenuse\}\}$

Im Dreieck$\text{ DBC }\backslash \; \backslash text\{DBC\}\backslash$gilt: $\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{a}=\mathrm{7,5}\text{ cm}\backslash \; \backslash mathrm\{Ankathete=a=7\{,\}5\backslash cm\}$

$\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}=\mathrm{w}\backslash hspace\{29mm\}\backslash mathrm\{Hypotenuse=w\}$

$\left({\displaystyle \frac{\beta }{2}}\right)={\mathrm{16,85}}^{\circ }\backslash hspace\{38mm\}\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash beta\}\{2\}\backslash right)=16\{,\}85^\backslash circ$

Löse die Formel nach der Hypotenuse $(\text{w})(\backslash text\{w\})$ auf und berechne die Länge der Seite $\text{w}\backslash text\{w\}$.

$\mathrm{w}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{(\cos {\displaystyle \frac{\beta }{2}})}}\Rightarrow \mathrm{w}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,5}}{\cos {\mathrm{16,85}}^{\circ }}}[\mathrm{c}\mathrm{m}]\backslash mathrm\{w=\backslash dfrac\{Ankathete\}\{\backslash left(\backslash cos\backslash dfrac\{\backslash beta\}\{2\}\backslash right)\}\backslash Rightarrow\backslash \; w=\backslash dfrac\{7\{,\}5\}\{\backslash cos16\{,\}85^\backslash circ\}\backslash \; [cm]\}$

$\mathrm{w}\approx \mathrm{7,84}\text{ cm}\backslash mathrm\{w\backslash approx7\{,\}84\backslash cm\}$

Die Länge der Seite $\text{w}\backslash text\{w\}$ beträgt ungefähr $\boxed{{\displaystyle \mathrm{7,84}\text{ cm}}}\backslash \; \backslash boxed\{7\{,\}84\backslash cm\}$

Berechnen der Seite$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}\backslash \; \backslash mathrm\{\backslash overline\{DC\}\}$ mit Hilfe des Tangens.

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\beta )={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{tan(\backslash beta)=\backslash dfrac\{Gegenkathete\}\{Ankathete\}\}$

Im Dreieck $\text{DBC }\backslash text\{DBC\}\backslash$gilt: $\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}\backslash \; \backslash mathrm\{Gegenkathete=\backslash overline\{DC\}\}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{a}=\mathrm{7,5}\text{ cm}\backslash hspace\{36mm\}\backslash mathrm\{Ankathete=a=7\{,\}5\backslash cm\}$

Löse die Formel nach der Gegenkathete $(\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}})(\backslash mathrm\{\backslash overline\{DC\}\})$ auf und berechne die Länge der Seite $\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}\backslash mathrm\{\backslash overline\{DC\}\}$.

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}=\mathrm{a}\cdot \tan \left({\displaystyle \frac{\beta }{2}}\right)\Rightarrow \overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}=\mathrm{7,5}\cdot \mathrm{0,3029}[\mathrm{c}\mathrm{m}]\backslash mathrm\{\backslash overline\{DC\}=a\backslash cdot\; \backslash tan\backslash left(\{\backslash dfrac\{\backslash beta\}\{2\}\}\backslash right)\backslash Rightarrow\backslash overline\{DC\}=7\{,\}5\backslash cdot0\{,\}3029\backslash \; \backslash \; [cm]\}$

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}\approx \mathrm{2,27}\text{ cm}\backslash mathrm\{\backslash overline\{DC\}\backslash approx2\{,\}27\}\backslash cm$

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}{2}}=\mathrm{2,5}\text{ cm}\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{\backslash overline\{AC\}\}\{2\}\}=2\{,\}5\backslash cm$

Die Strecke$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}\backslash \; \backslash mathrm\{\backslash overline\{DC\}\}\backslash$ist nicht halb so lang wie die Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}\backslash mathrm\{\backslash overline\{AC\}\}$.