Berechnen des Winkels $\beta$ mit Hilfe des Tangens.

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\beta })={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}$

Im Dreieck $\text{ABC}$gilt: $\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{b}=5\text{ cm}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{a}=\mathrm{7,5}\text{ cm}$

Setze die Werte in die Formel ein und berechne den Winkel $\beta$.

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\beta })={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{7,5}}}\Rightarrow \beta \approx {\mathrm{33,7}}^{\circ }$

Der Winkel $\beta$ beträgt ungefähr ${\mathrm{33,7}}^{\circ }$

Berechnen der Länge der Strecke $\text{w}$ mit Hilfe des Kosinus.

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}$

Im Dreieck$\text{DBC}$gilt: $\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{a}=\mathrm{7,5}\text{ cm}$

$\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}=\mathrm{w}$

$\left({\displaystyle \frac{\beta }{2}}\right)={\mathrm{16,85}}^{\circ }$

Löse die Formel nach der Hypotenuse $(\text{w})$ auf und berechne die Länge der Seite $\text{w}$.

$\mathrm{w}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\left(\cos {\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}\right)}}\Rightarrow \mathrm{w}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,5}}{\cos {\mathrm{16,85}}^{\circ }}}[\mathrm{c}\mathrm{m}]$

$\mathrm{w}\approx \mathrm{7,84}\text{ cm}$

Die Länge der Seite $\text{w}$ beträgt ungefähr $\mathrm{7,84}\text{ cm}$

Berechnen der Seite$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$ mit Hilfe des Tangens.

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\beta })={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}$

Im Dreieck $\text{DBC}$gilt: $\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{a}=\mathrm{7,5}\text{ cm}$

Löse die Formel nach der Gegenkathete $(\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}})$ auf und berechne die Länge der Seite $\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$.

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}=\mathrm{a}\cdot \tan \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}\right)\Rightarrow \overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}=\mathrm{7,5}\cdot \mathrm{0,3029}[\mathrm{c}\mathrm{m}]$

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}\approx \mathrm{2,27}\text{ cm}$

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}{2}}=\mathrm{2,5}\text{ cm}$

$\mathrm{2,27}<\mathrm{2,5}$

Die Strecke$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$ist nicht halb so lang wie die Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$.