Heft 2 - B1

Berechnen des Winkels $\beta$ mit Hilfe des Tangens.

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\beta })={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}$

Im Dreieck $\text{ABC}$gilt: $\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{b}=5\text{ cm}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{a}=\mathrm{7,5}\text{ cm}$

Setze die Werte in die Formel ein und berechne den Winkel $\beta$.

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\beta })={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{7,5}}}\Rightarrow \beta \approx {\mathrm{33,7}}^{\circ }$

Der Winkel $\beta$ beträgt ungefähr ${\mathrm{33,7}}^{\circ }$

Berechnen der Länge der Strecke $\text{w}$ mit Hilfe des Kosinus.

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}$

Im Dreieck$\text{DBC}$gilt: $\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{a}=\mathrm{7,5}\text{ cm}$

$\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}=\mathrm{w}$

$\left({\displaystyle \frac{\beta }{2}}\right)={\mathrm{16,85}}^{\circ }$

Löse die Formel nach der Hypotenuse $(\text{w})$ auf und berechne die Länge der Seite $\text{w}$.

$\mathrm{w}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\left(\cos {\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}\right)}}\Rightarrow \mathrm{w}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,5}}{\cos {\mathrm{16,85}}^{\circ }}}[\mathrm{c}\mathrm{m}]$

$\mathrm{w}\approx \mathrm{7,84}\text{ cm}$

Die Länge der Seite $\text{w}$ beträgt ungefähr $\mathrm{7,84}\text{ cm}$

Berechnen der Seite$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$ mit Hilfe des Tangens.

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\beta })={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}$

Im Dreieck $\text{DBC}$gilt: $\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{a}=\mathrm{7,5}\text{ cm}$

Löse die Formel nach der Gegenkathete $(\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}})$ auf und berechne die Länge der Seite $\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$.

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}=\mathrm{a}\cdot \tan \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\beta }}{2}}\right)\Rightarrow \overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}=\mathrm{7,5}\cdot \mathrm{0,3029}[\mathrm{c}\mathrm{m}]$

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}\approx \mathrm{2,27}\text{ cm}$

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}{2}}=\mathrm{2,5}\text{ cm}$

$\mathrm{2,27}<\mathrm{2,5}$

Die Strecke$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$ist nicht halb so lang wie die Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$.

Berechnen der Höhe $\text{h}$

$\cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({50}^{\circ })={\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}{\mathrm{h}}}\Rightarrow \mathrm{h}={\displaystyle \frac{115}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({50}^{\circ })}}$

$\text{ h}={\displaystyle \frac{115}{\mathrm{0,6428}}}$

$\text{ h}\approx 179\text{ m}$

Berechnen der Mantelfläche der Pyramide.

Berechnen der Fläche eines Dreiecks.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{h}}{2}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{230\cdot 179}{2}}[{\mathrm{m}}^2]$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=20585{\text{ m}}^2$

Die Mantelfläche $\text{M}$ der Pyramide beträgt dann:

$\mathrm{M}=4\cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}\Rightarrow \mathrm{M}=4\cdot 20585{\mathrm{m}}^2$

$\mathrm{M}=82340{\text{ m}}^2$

Berechnen der Höhe$\text{k}$für den Winkel${50}^{\circ }$

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}({50}^{\circ })={\displaystyle \frac{{\mathrm{k}}_{50}}{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}}$

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}({50}^{\circ })={\displaystyle \frac{{\mathrm{k}}_{50}}{115}}\Rightarrow {\mathrm{k}}_{50}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}({50}^{\circ })\cdot 115\mathrm{m}$

${\mathrm{k}}_{50}\approx \mathrm{137,1}\text{ m}$

Berechnen der Höhe$\text{k}$für den Winkel${10}^{\circ }$

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}({10}^{\circ })={\displaystyle \frac{{\mathrm{k}}_{10}}{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}}$

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}({10}^{\circ })={\displaystyle \frac{{\mathrm{k}}_{10}}{115}}\Rightarrow {\mathrm{k}}_{10}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}({10}^{\circ })\cdot 115\mathrm{m}$

${\mathrm{k}}_{10}\approx \mathrm{20,3}\text{ m}$

Die Aussage stimmt nicht, da:

$\mathrm{137,1}>\mathrm{101,5}(5\cdot \mathrm{20,3})[\mathrm{m}]$