Heft 2 - B1

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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Im rechtwinkligen Dreieck $A B C$ sind die Seitenlängen $a=7{,}5\ cm$ und
$b=5\ cm$ bekannt und die Winkelhalbierende $w$ ist eingezeichnet.
1. Zeige rechnerisch, dass die Größe des Winkels $\beta$ ungefähr $33,7 °$
  beträgt. \2P.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  Berechnen des Winkels $\beta$ mit Hilfe des Tangens.
  $\mathrm{tan(\beta)=\dfrac{Gegenkathete}{Ankathete}}$
  Im Dreieck $\text{ABC}\$ gilt: $\ \mathrm{Gegenkathete=b=5\cm}$
  $\hspace{35mm}\mathrm{Ankathete=a=7{,}5\cm}$
  Setze die Werte in die Formel ein und berechne den Winkel $\beta$ .
  $\mathrm{tan(\beta)=\dfrac{5}{7{,}5}}\ \Rightarrow\beta\approx33{,}7^\circ$
  Der Winkel $\beta$ beträgt ungefähr $\ \boxed{33{,}7^\circ}$
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  Berechne mit Hilfe des Tangens den Winkel $\beta$ .
2. Berechne die Länge der Strecke $\text{w}$ , die den Winkel $\beta$ halbiert. \2P.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  Berechnen der Länge der Strecke $\text{w}$ mit Hilfe des Kosinus.
  $\mathrm{cos\left(\dfrac{\beta}{2}\right)=\dfrac{Ankathete}{Hypotenuse}}$
  Im Dreieck $\ \text{DBC}\$ gilt: $\ \mathrm{Ankathete=a=7{,}5\cm}$
  $\hspace{29mm}\mathrm{Hypotenuse=w}$
  $\hspace{38mm}\left(\dfrac{\beta}{2}\right)=16{,}85^\circ$
  Löse die Formel nach der Hypotenuse $(\text{w})$ auf und berechne die Länge der Seite $\text{w}$ .
  $\mathrm{w=\dfrac{Ankathete}{\left(\cos\dfrac{\beta}{2}\right)}\Rightarrow\ w=\dfrac{7{,}5}{\cos16{,}85^\circ}\ [cm]}$
  $\mathrm{w\approx7{,}84\cm}$
  Die Länge der Seite $\text{w}$ beträgt ungefähr $\ \boxed{7{,}84\cm}$
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  Berechne mit Hilfe des Kosinus die Länge der Strecke $\text{w}$ . Die Strecke $\text{w}$ ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks $\text{DBC}$ .
3. Zeige, dass die Winkelhalbierende $w$ die Seite $\overline{AC}$ nicht halbiert. \2P.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  Berechnen der Seite $\ \mathrm{\overline{DC}}$ mit Hilfe des Tangens.
  $\mathrm{tan(\beta)=\dfrac{Gegenkathete}{Ankathete}}$
  Im Dreieck $\text{DBC}\$ gilt: $\ \mathrm{Gegenkathete=\overline{DC}}$
  $\hspace{36mm}\mathrm{Ankathete=a=7{,}5\cm}$
  Löse die Formel nach der Gegenkathete $(\mathrm{\overline{DC}})$ auf und berechne die Länge der Seite $\mathrm{\overline{DC}}$ .
  $\mathrm{\overline{DC}=a\cdot \tan\left({\dfrac{\beta}{2}}\right)\Rightarrow\overline{DC}=7{,}5\cdot0{,}3029\ \ [cm]}$
  $\mathrm{\overline{DC}\approx2{,}27}\cm$
  $\mathrm{\dfrac{\overline{AC}}{2}}=2{,}5\cm$
  $2,27 < 2,5$
  Die Strecke $\ \mathrm{\overline{DC}}\$ ist nicht halb so lang wie die Strecke $\mathrm{\overline{AC}}$ .
  
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  Berechne die die Länge der Seite $\mathrm{\overline{DC}}$ mit Hilfe des Tangens.
  Hinweis:
  Da das Dreieck $\ \text{DBC}$ rechtwinklig ist und die Länge der Hypotenuse $\ \text{w}\$ und einer Kathete $\ \text{a}\$ bekannt sind, kannst Du die Länge der Seite $\mathrm{\overline{DC}}$ auch mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.
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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einem anderen Dreieck sind die drei Seitenlängen $a=5\ cm$ , $b=6\ cm$
und $c=7\ cm$ bekannt.
Berechne die Größe des Winkels $\gamma$ . \3P.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Berechnen des Winkels $\ \gamma\$ mit dem Kosinussatz.
Der Kosinussatz, angewandt auf das abgebildete Dreieck, lautet:
$\mathrm{c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\gamma}$
Löse die Formel nach $\cos\gamma\$ auf.
$\mathrm{cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot a\cdot b}}$
Setze die entsprechenden Werte ein und berechne den Winkel $\ \gamma$ .
$\mathrm{cos\gamma=\dfrac{25+36-49}{2\cdot 5\cdot 6}\ \Rightarrow\ cos\gamma=0{,}2}$
$\gamma\approx78{,}5^\circ$
Der Winkel $\ \gamma\$ beträgt ungefähr $\ \boxed{78{,}5^\circ}$
Berechne den Winkel $\ \gamma\$ mit Hilfe des Kosinussatzes.
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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist die Seitenlänge $a$ der Grundfläche mit $a=230\ m$ bekannt.
1. Zeige, dass die Höhe $h$ der Seitenfläche ungefähr $179\ m$ beträgt. \2P.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  Berechnen der Höhe $\text{h}$
  $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  $\mathrm{cos(50^\circ)=\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}\right)}{h}\ \Rightarrow h=\dfrac{115}{cos(50^\circ)}}$
  $\h=\dfrac{115}{0{,}6428}$
  $\h\approx179\m$
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  Das farbige Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe $\text{h}$ ist die Hypotenuse diesesDreiecks. Berechne $\text{h}$ mit Hilfe des Kosinus.
2. Bestimme die Größe der Mantelfläche der Pyramide in $m^{2}$ . \2P.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Berechnen der Mantelfläche der Pyramide.
  Berechnen der Fläche eines Dreiecks.
  $\mathrm{A_{\Delta}=\dfrac{a\cdot h}{2}\Rightarrow A_{\Delta}=\dfrac{230\cdot 179}{2}\ [m^2]}$
  $\mathrm{A_{\Delta}=20585\m^2}$
  Die Mantelfläche $\text{M}$ der Pyramide beträgt dann:
  $\mathrm{M=4\cdot A_{\Delta}\ \Rightarrow\ M=4\cdot 20585\ m^2}$
  $\boxed{\mathrm{M=82340\m^2}}$
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  Die Mantelfläche der Pyramide besteht aus $4$ gleichschenkligen Dreiecken. Berechne die Fläche eines Dreiecks und multipliziere das Ergebnis mit $4$ .
3. Es wird behauptet: Fünftelt man den Winkel von $50 °$ auf $10 °$ , so ist auch die Höhe $k$ der Pyramide nur ein Fünftel so groß. Entscheide, ob die Aussage stimmt und begründe deine Entscheidung. \2P.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  Berechnen der Höhe $\ \text{k}\$ für den Winkel $\ 50^\circ\$
  $\mathrm{tan(50^\circ)=\dfrac{k_{50}}{\left(\dfrac{a}{2}\right)}}$
  $\mathrm{tan(50^\circ)=\dfrac{k_{50}}{115}\ \Rightarrow\ k_{50}=tan(50^\circ)\cdot 115\ m}$
  $\mathrm{k_{50}\approx137{,}1\m}$
  Berechnen der Höhe $\ \text{k}\$ für den Winkel $\ 10^\circ\$
  $\mathrm{tan(10^\circ)=\dfrac{k_{10}}{\left(\dfrac{a}{2}\right)}}$
  $\mathrm{tan(10^\circ)=\dfrac{k_{10}}{115}\ \Rightarrow\ k_{10}=tan(10^\circ)\cdot 115\ m}$
  $\mathrm{k_{10}\approx20{,}3\m}$
  Die Aussage stimmt nicht, da:
  $\mathrm{137{,}1>101{,}5\ (5\cdot 20{,}3)\ [m]}$
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  Berechne die Höhe $\ \text{k}\$ für den Winkel $\ 50^\circ\$ und den Winkel $\ 10^\circ\$ und vergleiche die Werte.