Teil B: Analysis 2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Für ein Umweltschutzprojekt soll eine Unterwasserdrohne $U$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vornehmen. Sie bewegt sich nur in vertikaler Richtung, d. h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeit lässt sich für $0 \leq t \leq 30$ mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v$ beschreiben, wobei gilt:

\displaystyle v(t)=-\frac{6}{25} t \cdot(4 t-25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5} t}

Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten, $v (t)$ die Geschwindigkeit von $U$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit in diesem Modell negativ ist, sinkt die Unterwasserdrohne. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$
Lasse Dir den Graphen von $v(t)=-\frac{6}{25} t \cdot(4 t-25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5} t}$ anzeigen und bestimme den Tiefpunkt. Im Modellierungsbereich erhält man den Tiefpunkt $\left(t_{1} \mid y_{1}\right)$ mit $t_{1} \approx 14$ und $y_{1} \approx-6{,}3$ .
Interpretiere die Werte im Sachkontext
$U$ hat etwa $14$ Minuten nach Beobachtungsbeginn eine Geschwindigkeit von $- 6,3$ Meter pro Minute.
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Teil 1
Lasse Dir den Graphen von $v(t)=-\frac{6}{25} t \cdot(4 t-25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5} t}$ anzeigen und bestimme den Tiefpunkt $\;\Rightarrow\;t_1$ und $y_{1}$ .
Teil 2
$y_{1}$ ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_{1}$ .
Mit $v^{\prime}$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet.
Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{\prime}(t)>0$ .
Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von $U$ in diesem Zeitraum. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Interpretiere die Aussage in Bezug auf die Bewegung von $U$ in diesem Zeitraum
Wegen $v (t) < 0$ sinkt $U$ . Wegen $v^{'} (t) > 0$ ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit von $U$ positiv. Also sinkt $U$ in diesem Zeitraum immer langsamer.
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Was bedeutet $v (t) < 0$ und was bedeutet $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U$ ?
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter.
Ermitteln Sie den Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn. (5 P)
Ermittele den Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn
$v(t) = −\frac{6}{25}t \cdot (4t − 25) ⋅ e^{−\frac15\cdot t}$
Betrachte den Term $4 t - 25$ .
Für $t>\dfrac{25}{4}=6{,}25$ ist der Term größer null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) < 0$ .
Für $t < 6,25$ ist der Term kleiner null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) > 0$ .
Somit gilt: $v (t) > 0$ für $0 < t < 6,25$ und $v (t) < 0$ für $6,25 < t < 30$ .
$U$ hat somit $6,25$ Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter. Dann berechnet sich der Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern:
$10+\displaystyle \int_0^{6{,}25}v(t)\;\mathrm{d}t\approx31{,}73687...$
Der Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn beträgt rund $31{,}7\;\text{m}$ .
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Untersuche, in welchem Zeitraum $v (t)$ größer bzw. kleiner $0$ ist.
Zur Zeit $t_{x}$ , bei der sich das Vorzeichen von $v (t)$ ändert, hat $U$ den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.
Der geringste Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche des Sees beträgt $10$ Meter.
Zu Beobachtungsbeginn berechne: $10+\displaystyle\int_0^{t_x}v(t)\;\mathrm{d}t$

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von vvv

Interpretiere die Werte im Sachkontext

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Interpretiere die Aussage in Bezug auf die Bewegung von UUU in diesem Zeitraum

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Ermittele den Abstand von UUU zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn

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Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$

Interpretiere die Aussage in Bezug auf die Bewegung von $U$ in diesem Zeitraum

Ermittele den Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn