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Teil B: Analysis 2

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  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen faf_{a} mit fa(x)=1a3x31ax2+xf_{a}(x)=\frac{1}{a^{3}} x^{3}-\frac{1}{a} x^{2}+x und aR,a>0a \in \mathbb{R}, a>0.

    1. Berechnen Sie die Stellen, an denen der Graph von f4f_{4} eine Steigung von 14-\frac{1}{4} hat. (3 P)

    2. Bestimmen Sie den Wert von aa so, dass der Punkt (22)(2|2) auf dem Graphen von faf_{a} liegt.

      (3 P)

    3. Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von f1f_{1} und f2f_{2}. (3 P)

    4. Die Gleichung fa(x)=0f_{a}(x)=0 hat in Abhängigkeit von aa die Lösungen

      0 und a2+a3(a4)2\dfrac{a^{2}+\sqrt{a^{3}(a-4)}}{2} und a2a3(a4)2\dfrac{a^{2}-\sqrt{a^{3}(a-4)}}{2}, wobei die Lösung 00 nicht mit den anderen beiden Lösungen zusammenfallen kann.

      Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von faf_{a} in Abhängigkeit von aa an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme. (5 P)

    5. Im Folgenden gilt 0<a<40<a<4.

      Abbildung 1 zeigt beispielhaft den Graphen einer Funktion faf_{a} sowie die Gerade gg mit der Gleichung y=xy=x, die den Graphen in den Punkten O(00)O(0 \mid 0) und P(uafa(ua))P\left(u_{a} \mid f_{a}\left(u_{a}\right)\right) schneidet. Die Gerade gg, die xx-Achse und die Gerade mit der Gleichung x=uax=u_{a} begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck.

      Funktion und Gerade

      Abbildung 1

      Die folgenden Schritte stellen die Lösung einer Aufgabe dar:

      • fa(x)=xx=0x=a2 f_{a}(x)=x \Leftrightarrow x=0 \vee x=a^{2}.

      • 12a2fa(a2)=30a2(xfa(x))dxa=2\frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot f_{a}\left(a^{2}\right)=3 \cdot\displaystyle\int_{0}^{a^{2}}\left(x-f_{a}(x)\right) \mathrm{d} x \Leftrightarrow a=2.

      Erläutern Sie diese Schritte und interpretieren Sie die Lösung a=2a=2 geometrisch. (5 P)

    6. Im Folgenden gilt a=4a=4. Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion f4f_{4}.

       Graph der Funktion f_{4}
​

.

      Abbildung 2

      hh ist die Funktion, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von f4f_{4} an der xx-Achse entsteht.

      (i) Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von hh sowie die Fläche AA, die von x=0x=0 bis x=12x=12 zwischen den Graphen von f4f_{4} und hh liegt. (2 P)

      (ii) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche AA. (3 P)

    7. (i) Bestimmen Sie rechnerisch die beiden lokalen Extremstellen von f4f_{4}. (2 P)

      (ii) Der Graph der Funktion ss ist die Gerade, die durch die beiden lokalen Extrempunkte des Graphen von f4f_{4} verläuft. Bestimmen Sie eine Gleichung von ss. (2 P)

      (iii) Es gilt: 838(f4(x)s(x))dx=0\displaystyle\int_{\frac{8}{3}}^{8}\left(f_{4}(x)-s(x)\right) \mathrm{d} x=0.

      Interpretieren Sie diese Aussage geometrisch. (2 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Für ein Umweltschutzprojekt soll eine Unterwasserdrohne UU in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vornehmen. Sie bewegt sich nur in vertikaler Richtung, d. h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeit lässt sich für 0t300 \leq t \leq 30 mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion vv beschreiben, wobei gilt:

    v(t)=625t(4t25)e15t\displaystyle v(t)=-\frac{6}{25} t \cdot(4 t-25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5} t}

    Dabei ist tt die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten, v(t)v(t) die Geschwindigkeit von UU in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit in diesem Modell negativ ist, sinkt die Unterwasserdrohne. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.

    1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von vv und interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. (3 P)

    2. Mit vv^{\prime} wird die erste Ableitungsfunktion von vv bezeichnet.

      Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt tt die folgende Aussage: v(t)<0v(t)<0 und v(t)>0v^{\prime}(t)>0.

      Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von UU in diesem Zeitraum. (2 P)

    3. Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von UU zur Wasseroberfläche des Sees 1010 Meter.

      Ermitteln Sie den Abstand von UU zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn. (5 P)


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