Teil B: Analysis 2

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Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a}(x)=\frac{1}{a^{3}} x^{3}-\frac{1}{a} x^{2}+x$ und $a \in \mathbb{R}, a>0$ .

Berechnen Sie die Stellen, an denen der Graph von $f_{4}$ eine Steigung von $-\frac{1}{4}$ hat. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

Berechne die Stellen, an denen der Graph von $f_{4}$ eine Steigung von $-\frac{1}{4}$ hat

Gegeben ist $f_{a}(x)=\frac{1}{a^{3}} x^{3}-\frac{1}{a} x^{2}+x$ .

$\Rightarrow\; f_{4}(x)=\frac{1}{64} x^{3}-\frac{1}{4} x^{2}+x$

Berechne $f_4'(x)=\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{2}x+1$

Löse die Gleichung $f_4'(x)=-\dfrac{1}{4}\;\Rightarrow\;\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{2}x+1=-\dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{4}=0$

Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a=\dfrac{3}{64}$ , $b=-\dfrac{1}{2}$ und $c=\dfrac{5}{4}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-4\cdot\dfrac{3}{64}\cdot \dfrac{5}{4}}}{2\cdot \dfrac{3}{64}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{15}{64}}}{ \dfrac{3}{32}}$
	↓	Vereinfache die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{64}}}{\dfrac{3}{32}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{8}}{\dfrac{3}{32}}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{32}{3}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrwert.
	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{8}\right)\cdot\dfrac{32}{3}$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{3}\pm \dfrac{4}{3}$

Damit erhält man $x_1=\dfrac{16}{3}- \dfrac{4}{3}=\dfrac{12}{3}=4$ und $x_2=\dfrac{16}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{20}{3}$ .

Die Stellen, an denen der Graph von $f_{4}$ eine Steigung von $-\frac{1}{4}$ hat, sind $x_{1} = 4$ und $x_2=\dfrac{20}{3}$ .

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Bestimmen Sie den Wert von $a$ so, dass der Punkt $(2 ∣ 2)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt.
(3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Bestimme den Wert von $a$ so, dass der Punkt $(2 ∣ 2)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt
Für $a > 0$ soll gelten: $f_{a}(2)=2$ .
$f_{a}(2)=\frac{1}{a^{3}}\cdot 2^{3}-\frac{1}{a}\cdot 2^{2}+2=2\;\Rightarrow\;\frac{1}{a^{3}} \cdot 8-\frac{1}{a} \cdot 4=0\;\Rightarrow\;\dfrac{4}{a}\cdot\left(\dfrac{2}{a^2}-1\right)=0$
Das führt zu der Gleichung:
$\dfrac{2}{a^2}-1=0\;\Rightarrow\;2=a^2\;\Rightarrow\;a=\sqrt{2}$
(Wegen $a > 0$ entfällt die zweite Lösung $-\sqrt{a}$ .)
Der Punkt liegt für $a=\sqrt{2}$ auf dem Graphen von $f_{a}$ .
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Löse die Gleichung $f_{a}(2)=2$ nach $a$ auf.
Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Ermittele die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$
$f_{a}(x)=\frac{1}{a^{3}} x^{3}-\frac{1}{a} x^{2}+x$
$\Rightarrow\; f_1(x)= x^{3}- x^{2}+x$ und $f_{2}(x)=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+x$
Zur Berechnung der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ setze $f_{1} = f_{2}$ .
$\Rightarrow\;x^{3}- x^{2}+x=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+x\;\Rightarrow\;\frac{7}{8}x^3-\frac{1}{2}x^2=0$
$\Rightarrow\;\frac{x^2}{2}\left(\frac{7}{4}x-1\right)=0$
Die Gleichung hat mit dem Satz vom Nullprodukt die beiden Lösungen $x_{1} = 0$ und $x_2=\dfrac{4}{7}$ .
Berechne die zugehörigen Funktionswerte:
$f_{1} (0) = 0$ und $f_1(\frac{4}{7})=\left(\frac{4}{7}\right)^3-\left(\frac{4}{7}\right)^2+\frac{4}{7}=\frac{148}{343}$
Die Punkte $(0 \mid 0)$ und $\left(\frac{4}{7} \left\lvert\, \frac{148}{343}\right.\right) \approx(0{,}57 \mid 0{,}43)$ sind die gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ .
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Zur Berechnung der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ setze $f_{1} = f_{2}$ .
Vereinfache die Gleichung und löse sie nach $x$ auf.
Berechne die zugehörigen Funktionswerte.
Die Gleichung $f_{a}(x)=0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen
0 und $\dfrac{a^{2}+\sqrt{a^{3}(a-4)}}{2}$ und $\dfrac{a^{2}-\sqrt{a^{3}(a-4)}}{2}$ , wobei die Lösung $0$ nicht mit den anderen beiden Lösungen zusammenfallen kann.
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme. (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründe Deine Angabe anhand der obigen Terme
Gegeben sind:
0; $\dfrac{a^{2}+\sqrt{a^{3}(a-4)}}{2}$ ; $\dfrac{a^{2}-\sqrt{a^{3}(a-4)}}{2}$
Für $a > 0$ ist auch $a^{3} > 0$ .
Betrachte den Term $(a - 4)$ :
Wenn $a - 4 < 0$ ist, folgt $0 < a < 4$ und die beiden Terme mit den Wurzeln entfallen als Nullstellen. Es gibt also nur $1$ Nullstelle $x = 0$ .
Wenn $a - 4 = 0$ ist, folgt $a = 4$ und die beiden Terme mit den Wurzeln fallen zusammen. Es gibt $2$ Nullstellen $x = 0$ und $x=\dfrac{a^2}{2}$ .
Wenn $a - 4 > 0$ ist, folgt $a > 4$ und es gibt die $3$ oben angegebenen Nullstellen.
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Für $a > 0$ ist auch $a^{3} > 0$ .
Betrachte den Term $(a - 4)$ und führe eine Fallunterscheidung durch.
Im Folgenden gilt $0 < a < 4$ .
Abbildung 1 zeigt beispielhaft den Graphen einer Funktion $f_{a}$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = x$ , die den Graphen in den Punkten $O(0 \mid 0)$ und $P\left(u_{a} \mid f_{a}\left(u_{a}\right)\right)$ schneidet. Die Gerade $g$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=u_{a}$ begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck.
Abbildung 1
Die folgenden Schritte stellen die Lösung einer Aufgabe dar:
- $f_{a}(x)=x \Leftrightarrow x=0 \vee x=a^{2}$ .
- $\frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot f_{a}\left(a^{2}\right)=3 \cdot\displaystyle\int_{0}^{a^{2}}\left(x-f_{a}(x)\right) \mathrm{d} x \Leftrightarrow a=2$ .
Erläutern Sie diese Schritte und interpretieren Sie die Lösung $a = 2$ geometrisch. (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Erläutere diese Schritte und interpretiere die Lösung $a = 2$ geometrisch
1. Rechenschritt: Zunächst werden die Schnittstellen der Gerade $g$ mit dem Graphen von $f_{a}$ berechnet $\;\Rightarrow\;f_{a}(x)=x \Leftrightarrow x=0 \vee x=a^{2}$
2. Rechenschritt:
Die Lösung $a = 2$ der Gleichung $\frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot f_{a}\left(a^{2}\right)=3 \cdot\displaystyle\int_{0}^{a^{2}}\left(x-f_{a}(x)\right) \mathrm{d} x$ gibt denjenigen Wert von $a$ an, für den das rechtwinklige Dreieck den dreifachen Flächeninhalt besitzt wie das Flächenstück, das von $g$ und dem Graphen von $f_{a}$ eingeschlossen ist.
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Im ersten Rechenschritt werden die Schnittstellen der Gerade $g$ mit dem Graphen von $f_{a}$ berechnet.
Im zweiten Rechenschritt steht auf der linken Gleichungsseite der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks und auf der rechten Gleichungsseite steht der dreifache Flächeninhalt des Flächenstücks, das von $g$ und dem Graphen von $f_{a}$ eingeschlossen ist.
Die Lösung dieser Gleichung ist $a = 2$ .
Im Folgenden gilt $a = 4$ . Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion $f_{4}$ .
$Graph der Funktion f_{4} .$
Abbildung 2
$h$ ist die Funktion, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von $f_{4}$ an der $x$ -Achse entsteht.
(i) Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von $h$ sowie die Fläche $A$ , die von $x = 0$ bis $x = 12$ zwischen den Graphen von $f_{4}$ und $h$ liegt. (2 P)
(ii) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche $A$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Skizziere in Abbildung 2 den Graphen von $h$ sowie die Fläche $A$ , die von $x = 0$ bis $x = 12$ zwischen den Graphen von $f_{4}$ und $h$ liegt
Abbildung 2 mit Graph h und der eingeschlossenen Fläche
Der Graph von $h$ wurde durch Spiegelung des Graphen von $f_{4}$ an der $x$ -Achse erzeugt.
(ii) Berechne den Inhalt der Fläche $A$
$f_{4}(x)=\frac{1}{64} x^{3}-\frac{1}{4} x^{2}+x\;\Rightarrow\;F_4(x)=\frac{1}{256} x^{4}-\frac{1}{12} x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2$
Der Flächeninhalt wird berechnet mit:
$A=2 \cdot\displaystyle \int_{0}^{12} f_{4}(x)\; \mathrm{d} x=2\cdot\left[F_4(12)-F_4(0)\right]$
$F_4(12)=\frac{1}{256}\cdot 12^{4}-\frac{1}{12}\cdot 12^{3}+\dfrac{1}{2}\cdot 12^2=9$ und $F_{4} (0) = 0$
$\Rightarrow\;A=2\cdot(9-0)=18$
Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt $18\;\mathrm{FE}$ .
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Teil (i)
Der Graph von $h$ wird durch Spiegelung des Graphen von $f_{4}$ an der $x$ -Achse erzeugt.
Teil (ii)
Der Flächeninhalt wird berechnet mit $A=2 \cdot\displaystyle \int_{0}^{12} f_{4}(x)\; \mathrm{d} x$

(i) Bestimmen Sie rechnerisch die beiden lokalen Extremstellen von $f_{4}$ . (2 P)

(ii) Der Graph der Funktion $s$ ist die Gerade, die durch die beiden lokalen Extrempunkte des Graphen von $f_{4}$ verläuft. Bestimmen Sie eine Gleichung von $s$ . (2 P)

(iii) Es gilt: $\displaystyle\int_{\frac{8}{3}}^{8}\left(f_{4}(x)-s(x)\right) \mathrm{d} x=0$ .

Interpretieren Sie diese Aussage geometrisch. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen

(i) Bestimme rechnerisch die beiden lokalen Extremstellen von $f_{4}$

Es ist $f_4'(x)=\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{2}x+1$

Die notwendige Bedingung ist $f_{4}^{\prime}(x)=0\;\Rightarrow\;0=\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{2}x+1$

Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a=\dfrac{3}{64}$ , $b=-\dfrac{1}{2}$ und $c = 1$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-4\cdot\dfrac{3}{64}\cdot 1}}{2\cdot \dfrac{3}{64}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{16}}}{ \dfrac{3}{32}}$
	↓	Vereinfache die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}}}{\dfrac{3}{32}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{32}}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{32}{3}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrwert.
	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{4}\right)\cdot\dfrac{32}{3}$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{3}\pm \dfrac{8}{3}$

Damit erhält man $x_1=\dfrac{16}{3}- \dfrac{8}{3}=\dfrac{8}{3}$ und $x_2=\dfrac{16}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{24}{3}=8$ .

Die notwendige Bedingung $f_{4}^{\prime}(x)=0$ liefert $x_1=\dfrac{8}{3}$ und $x_{2} = 8$ .

Laut Aufgabenstellung handelt es sich bei diesen beiden Stellen um die Extremstellen von $f_{4}$ .

(ii) Bestimme eine Gleichung von $s$

Die beiden Extremstellen sind $x_1=\dfrac{8}{3}$ und $x_{2} = 8$ .

Der Graph der Funktion $s$ ist die Gerade, die durch die beiden lokalen Extrempunkte des Graphen von $f_{4}$ verläuft.

Ansatz: $s(x)=m \cdot x+b$

$m=\frac{f_4(8)-f_4\left(\frac{8}{3}\right)}{8-\frac{8}{3}}$

$f_4(8)=\frac{1}{64} 8^{3}-\frac{1}{4} 8^{2}+8=0$

$f_4(\frac{8}{3})=\frac{1}{64} \left(\frac{8}{3}\right)^{3}-\frac{1}{4}\left(\frac{8}{3}\right)^{2}+\frac{8}{3}=\frac{32}{27}$

$\Rightarrow\;m=\frac{0-\frac{32}{27}}{8-\frac{8}{3}}=-\frac{\frac{32}{27}}{\frac{16}{3}}=-\frac{32}{27}\cdot \frac{3}{16}=-\frac{2}{9}$

Einsetzen der Koordinaten von $(8 \mid f(8))=(8 \mid 0)$ und von $m=-\frac{2}{9}$ in $s$ liefert:

$-\frac{2}{9} \cdot 8+b=0 \;\Rightarrow\; b=\frac{16}{9}$ .

Eine Gleichung von $s$ lautet somit: $s(x)=-\frac{2}{9} \cdot x+\frac{16}{9}$ .

(iii) Interpretiere diese Aussage geometrisch

Der Graph von $s$ schneidet den Graphen von $f_{4}$ an einer weiteren Stelle $x = w$ .

Diese Stelle liegt zwischen der Maximal- und Minimalstelle.

Die Inhalte der Flächen, die die Graphen von $f_{4}$ und $s$ in den Intervallen $I_{1}=\left[\frac{8}{3} ; w\right]$ (grüne Fläche) und $I_{2}=[w, 8]$ (orangefarbige Fläche) einschließen, sind gleich groß. Da im Intervall $I_{1}$ der Graph von $f_{4}$ oberhalb und im Intervall $I_{2}$ unterhalb des Graphen von $s$ verläuft, hat das Integral auf dem gesamten Intervall $\left[\frac{8}{3} ; 8\right]$ den Wert null.

Also gilt: $\displaystyle\int_{\frac{8}{3}}^{8}\left(f_{4}(x)-s(x)\right) \mathrm{d} x=0$ . (vgl. Abbildung)

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2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Für ein Umweltschutzprojekt soll eine Unterwasserdrohne $U$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vornehmen. Sie bewegt sich nur in vertikaler Richtung, d. h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeit lässt sich für $0 \leq t \leq 30$ mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v$ beschreiben, wobei gilt:
$\displaystyle v(t)=-\frac{6}{25} t \cdot(4 t-25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5} t}$
Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten, $v (t)$ die Geschwindigkeit von $U$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit in diesem Modell negativ ist, sinkt die Unterwasserdrohne. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.
1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$
  Lasse Dir den Graphen von $v(t)=-\frac{6}{25} t \cdot(4 t-25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5} t}$ anzeigen und bestimme den Tiefpunkt. Im Modellierungsbereich erhält man den Tiefpunkt $\left(t_{1} \mid y_{1}\right)$ mit $t_{1} \approx 14$ und $y_{1} \approx-6{,}3$ .
  Interpretiere die Werte im Sachkontext
  $U$ hat etwa $14$ Minuten nach Beobachtungsbeginn eine Geschwindigkeit von $- 6,3$ Meter pro Minute.
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  Teil 1
  Lasse Dir den Graphen von $v(t)=-\frac{6}{25} t \cdot(4 t-25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5} t}$ anzeigen und bestimme den Tiefpunkt $\;\Rightarrow\;t_1$ und $y_{1}$ .
  Teil 2
  $y_{1}$ ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_{1}$ .
2. Mit $v^{\prime}$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet.
  Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{\prime}(t)>0$ .
  Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von $U$ in diesem Zeitraum. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Interpretiere die Aussage in Bezug auf die Bewegung von $U$ in diesem Zeitraum
  Wegen $v (t) < 0$ sinkt $U$ . Wegen $v^{'} (t) > 0$ ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit von $U$ positiv. Also sinkt $U$ in diesem Zeitraum immer langsamer.
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  Was bedeutet $v (t) < 0$ und was bedeutet $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U$ ?
3. Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter.
  Ermitteln Sie den Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn. (5 P)
  
  Ermittele den Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn
  $v(t) = −\frac{6}{25}t \cdot (4t − 25) ⋅ e^{−\frac15\cdot t}$
  Betrachte den Term $4 t - 25$ .
  Für $t>\dfrac{25}{4}=6{,}25$ ist der Term größer null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) < 0$ .
  Für $t < 6,25$ ist der Term kleiner null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) > 0$ .
  Somit gilt: $v (t) > 0$ für $0 < t < 6,25$ und $v (t) < 0$ für $6,25 < t < 30$ .
  $U$ hat somit $6,25$ Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.
  Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter. Dann berechnet sich der Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern:
  $10+\displaystyle \int_0^{6{,}25}v(t)\;\mathrm{d}t\approx31{,}73687...$
  Der Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn beträgt rund $31{,}7\;\text{m}$ .
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  Untersuche, in welchem Zeitraum $v (t)$ größer bzw. kleiner $0$ ist.
  Zur Zeit $t_{x}$ , bei der sich das Vorzeichen von $v (t)$ ändert, hat $U$ den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.
  Der geringste Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche des Sees beträgt $10$ Meter.
  Zu Beobachtungsbeginn berechne: $10+\displaystyle\int_0^{t_x}v(t)\;\mathrm{d}t$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil B: Analysis 2

Aufgabe 1

Berechne die Stellen, an denen der Graph von f4f_{4}f4​ eine Steigung von −14-\frac{1}{4}−41​ hat

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Bestimme den Wert von aaa so, dass der Punkt (2∣2)(2|2)(2∣2) auf dem Graphen von faf_{a}fa​ liegt

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Ermittele die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von f1f_{1}f1​ und f2f_{2}f2​

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Gib die Anzahl der Nullstellen von faf_{a}fa​ in Abhängigkeit von aaa an und begründe Deine Angabe anhand der obigen Terme

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Erläutere diese Schritte und interpretiere die Lösung a=2a=2a=2 geometrisch

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(i) Skizziere in Abbildung 2 den Graphen von hhh sowie die Fläche AAA, die von x=0x=0x=0 bis x=12x=12x=12 zwischen den Graphen von f4f_{4}f4​ und hhh liegt

Abbildung 2 mit Graph h und der eingeschlossenen Fläche

(ii) Berechne den Inhalt der Fläche AAA

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(i) Bestimme rechnerisch die beiden lokalen Extremstellen von f4f_{4}f4​

(ii) Bestimme eine Gleichung von sss

(iii) Interpretiere diese Aussage geometrisch

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Aufgabe 2

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von vvv

Interpretiere die Werte im Sachkontext

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Interpretiere die Aussage in Bezug auf die Bewegung von UUU in diesem Zeitraum

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Ermittele den Abstand von UUU zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn

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Berechne die Stellen, an denen der Graph von $f_{4}$ eine Steigung von $-\frac{1}{4}$ hat

Bestimme den Wert von $a$ so, dass der Punkt $(2 ∣ 2)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt

Ermittele die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründe Deine Angabe anhand der obigen Terme

Erläutere diese Schritte und interpretiere die Lösung $a = 2$ geometrisch

(i) Skizziere in Abbildung 2 den Graphen von $h$ sowie die Fläche $A$ , die von $x = 0$ bis $x = 12$ zwischen den Graphen von $f_{4}$ und $h$ liegt

(ii) Berechne den Inhalt der Fläche $A$

(i) Bestimme rechnerisch die beiden lokalen Extremstellen von $f_{4}$

(ii) Bestimme eine Gleichung von $s$

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$

Interpretiere die Aussage in Bezug auf die Bewegung von $U$ in diesem Zeitraum

Ermittele den Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn