Teil B: Analysis 2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a}(x)=\frac{1}{a^{3}} x^{3}-\frac{1}{a} x^{2}+x$ und $a \in \mathbb{R}, a>0$ .

Berechnen Sie die Stellen, an denen der Graph von $f_{4}$ eine Steigung von $-\frac{1}{4}$ hat. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

Berechne die Stellen, an denen der Graph von $f_{4}$ eine Steigung von $-\frac{1}{4}$ hat

Gegeben ist $f_{a}(x)=\frac{1}{a^{3}} x^{3}-\frac{1}{a} x^{2}+x$ .

$\Rightarrow\; f_{4}(x)=\frac{1}{64} x^{3}-\frac{1}{4} x^{2}+x$

Berechne $f_4'(x)=\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{2}x+1$

Löse die Gleichung $f_4'(x)=-\dfrac{1}{4}\;\Rightarrow\;\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{2}x+1=-\dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{4}=0$

Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a=\dfrac{3}{64}$ , $b=-\dfrac{1}{2}$ und $c=\dfrac{5}{4}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-4\cdot\dfrac{3}{64}\cdot \dfrac{5}{4}}}{2\cdot \dfrac{3}{64}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{15}{64}}}{ \dfrac{3}{32}}$
	↓	Vereinfache die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{64}}}{\dfrac{3}{32}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{8}}{\dfrac{3}{32}}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{32}{3}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrwert.
	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{8}\right)\cdot\dfrac{32}{3}$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{3}\pm \dfrac{4}{3}$

Damit erhält man $x_1=\dfrac{16}{3}- \dfrac{4}{3}=\dfrac{12}{3}=4$ und $x_2=\dfrac{16}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{20}{3}$ .

Die Stellen, an denen der Graph von $f_{4}$ eine Steigung von $-\frac{1}{4}$ hat, sind $x_{1} = 4$ und $x_2=\dfrac{20}{3}$ .

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Bestimmen Sie den Wert von $a$ so, dass der Punkt $(2 ∣ 2)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt.
(3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Bestimme den Wert von $a$ so, dass der Punkt $(2 ∣ 2)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt
Für $a > 0$ soll gelten: $f_{a}(2)=2$ .
$f_{a}(2)=\frac{1}{a^{3}}\cdot 2^{3}-\frac{1}{a}\cdot 2^{2}+2=2\;\Rightarrow\;\frac{1}{a^{3}} \cdot 8-\frac{1}{a} \cdot 4=0\;\Rightarrow\;\dfrac{4}{a}\cdot\left(\dfrac{2}{a^2}-1\right)=0$
Das führt zu der Gleichung:
$\dfrac{2}{a^2}-1=0\;\Rightarrow\;2=a^2\;\Rightarrow\;a=\sqrt{2}$
(Wegen $a > 0$ entfällt die zweite Lösung $-\sqrt{a}$ .)
Der Punkt liegt für $a=\sqrt{2}$ auf dem Graphen von $f_{a}$ .
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Löse die Gleichung $f_{a}(2)=2$ nach $a$ auf.
Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Ermittele die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$
$f_{a}(x)=\frac{1}{a^{3}} x^{3}-\frac{1}{a} x^{2}+x$
$\Rightarrow\; f_1(x)= x^{3}- x^{2}+x$ und $f_{2}(x)=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+x$
Zur Berechnung der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ setze $f_{1} = f_{2}$ .
$\Rightarrow\;x^{3}- x^{2}+x=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+x\;\Rightarrow\;\frac{7}{8}x^3-\frac{1}{2}x^2=0$
$\Rightarrow\;\frac{x^2}{2}\left(\frac{7}{4}x-1\right)=0$
Die Gleichung hat mit dem Satz vom Nullprodukt die beiden Lösungen $x_{1} = 0$ und $x_2=\dfrac{4}{7}$ .
Berechne die zugehörigen Funktionswerte:
$f_{1} (0) = 0$ und $f_1(\frac{4}{7})=\left(\frac{4}{7}\right)^3-\left(\frac{4}{7}\right)^2+\frac{4}{7}=\frac{148}{343}$
Die Punkte $(0 \mid 0)$ und $\left(\frac{4}{7} \left\lvert\, \frac{148}{343}\right.\right) \approx(0{,}57 \mid 0{,}43)$ sind die gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ .
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Zur Berechnung der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ setze $f_{1} = f_{2}$ .
Vereinfache die Gleichung und löse sie nach $x$ auf.
Berechne die zugehörigen Funktionswerte.
Die Gleichung $f_{a}(x)=0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen
0 und $\dfrac{a^{2}+\sqrt{a^{3}(a-4)}}{2}$ und $\dfrac{a^{2}-\sqrt{a^{3}(a-4)}}{2}$ , wobei die Lösung $0$ nicht mit den anderen beiden Lösungen zusammenfallen kann.
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme. (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründe Deine Angabe anhand der obigen Terme
Gegeben sind:
0; $\dfrac{a^{2}+\sqrt{a^{3}(a-4)}}{2}$ ; $\dfrac{a^{2}-\sqrt{a^{3}(a-4)}}{2}$
Für $a > 0$ ist auch $a^{3} > 0$ .
Betrachte den Term $(a - 4)$ :
Wenn $a - 4 < 0$ ist, folgt $0 < a < 4$ und die beiden Terme mit den Wurzeln entfallen als Nullstellen. Es gibt also nur $1$ Nullstelle $x = 0$ .
Wenn $a - 4 = 0$ ist, folgt $a = 4$ und die beiden Terme mit den Wurzeln fallen zusammen. Es gibt $2$ Nullstellen $x = 0$ und $x=\dfrac{a^2}{2}$ .
Wenn $a - 4 > 0$ ist, folgt $a > 4$ und es gibt die $3$ oben angegebenen Nullstellen.
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Für $a > 0$ ist auch $a^{3} > 0$ .
Betrachte den Term $(a - 4)$ und führe eine Fallunterscheidung durch.
Im Folgenden gilt $0 < a < 4$ .
Abbildung 1 zeigt beispielhaft den Graphen einer Funktion $f_{a}$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = x$ , die den Graphen in den Punkten $O(0 \mid 0)$ und $P\left(u_{a} \mid f_{a}\left(u_{a}\right)\right)$ schneidet. Die Gerade $g$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=u_{a}$ begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck.
Abbildung 1
Die folgenden Schritte stellen die Lösung einer Aufgabe dar:
- $f_{a}(x)=x \Leftrightarrow x=0 \vee x=a^{2}$ .
- $\frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot f_{a}\left(a^{2}\right)=3 \cdot\displaystyle\int_{0}^{a^{2}}\left(x-f_{a}(x)\right) \mathrm{d} x \Leftrightarrow a=2$ .
Erläutern Sie diese Schritte und interpretieren Sie die Lösung $a = 2$ geometrisch. (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Erläutere diese Schritte und interpretiere die Lösung $a = 2$ geometrisch
1. Rechenschritt: Zunächst werden die Schnittstellen der Gerade $g$ mit dem Graphen von $f_{a}$ berechnet $\;\Rightarrow\;f_{a}(x)=x \Leftrightarrow x=0 \vee x=a^{2}$
2. Rechenschritt:
Die Lösung $a = 2$ der Gleichung $\frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot f_{a}\left(a^{2}\right)=3 \cdot\displaystyle\int_{0}^{a^{2}}\left(x-f_{a}(x)\right) \mathrm{d} x$ gibt denjenigen Wert von $a$ an, für den das rechtwinklige Dreieck den dreifachen Flächeninhalt besitzt wie das Flächenstück, das von $g$ und dem Graphen von $f_{a}$ eingeschlossen ist.
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Im ersten Rechenschritt werden die Schnittstellen der Gerade $g$ mit dem Graphen von $f_{a}$ berechnet.
Im zweiten Rechenschritt steht auf der linken Gleichungsseite der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks und auf der rechten Gleichungsseite steht der dreifache Flächeninhalt des Flächenstücks, das von $g$ und dem Graphen von $f_{a}$ eingeschlossen ist.
Die Lösung dieser Gleichung ist $a = 2$ .
Im Folgenden gilt $a = 4$ . Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion $f_{4}$ .
$Graph der Funktion f_{4} .$
Abbildung 2
$h$ ist die Funktion, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von $f_{4}$ an der $x$ -Achse entsteht.
(i) Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von $h$ sowie die Fläche $A$ , die von $x = 0$ bis $x = 12$ zwischen den Graphen von $f_{4}$ und $h$ liegt. (2 P)
(ii) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche $A$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Skizziere in Abbildung 2 den Graphen von $h$ sowie die Fläche $A$ , die von $x = 0$ bis $x = 12$ zwischen den Graphen von $f_{4}$ und $h$ liegt
Abbildung 2 mit Graph h und der eingeschlossenen Fläche
Der Graph von $h$ wurde durch Spiegelung des Graphen von $f_{4}$ an der $x$ -Achse erzeugt.
(ii) Berechne den Inhalt der Fläche $A$
$f_{4}(x)=\frac{1}{64} x^{3}-\frac{1}{4} x^{2}+x\;\Rightarrow\;F_4(x)=\frac{1}{256} x^{4}-\frac{1}{12} x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2$
Der Flächeninhalt wird berechnet mit:
$A=2 \cdot\displaystyle \int_{0}^{12} f_{4}(x)\; \mathrm{d} x=2\cdot\left[F_4(12)-F_4(0)\right]$
$F_4(12)=\frac{1}{256}\cdot 12^{4}-\frac{1}{12}\cdot 12^{3}+\dfrac{1}{2}\cdot 12^2=9$ und $F_{4} (0) = 0$
$\Rightarrow\;A=2\cdot(9-0)=18$
Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt $18\;\mathrm{FE}$ .
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Teil (i)
Der Graph von $h$ wird durch Spiegelung des Graphen von $f_{4}$ an der $x$ -Achse erzeugt.
Teil (ii)
Der Flächeninhalt wird berechnet mit $A=2 \cdot\displaystyle \int_{0}^{12} f_{4}(x)\; \mathrm{d} x$

(i) Bestimmen Sie rechnerisch die beiden lokalen Extremstellen von $f_{4}$ . (2 P)

(ii) Der Graph der Funktion $s$ ist die Gerade, die durch die beiden lokalen Extrempunkte des Graphen von $f_{4}$ verläuft. Bestimmen Sie eine Gleichung von $s$ . (2 P)

(iii) Es gilt: $\displaystyle\int_{\frac{8}{3}}^{8}\left(f_{4}(x)-s(x)\right) \mathrm{d} x=0$ .

Interpretieren Sie diese Aussage geometrisch. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen

(i) Bestimme rechnerisch die beiden lokalen Extremstellen von $f_{4}$

Es ist $f_4'(x)=\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{2}x+1$

Die notwendige Bedingung ist $f_{4}^{\prime}(x)=0\;\Rightarrow\;0=\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{2}x+1$

Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a=\dfrac{3}{64}$ , $b=-\dfrac{1}{2}$ und $c = 1$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-4\cdot\dfrac{3}{64}\cdot 1}}{2\cdot \dfrac{3}{64}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{16}}}{ \dfrac{3}{32}}$
	↓	Vereinfache die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}}}{\dfrac{3}{32}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{32}}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{32}{3}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrwert.
	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{4}\right)\cdot\dfrac{32}{3}$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{3}\pm \dfrac{8}{3}$

Damit erhält man $x_1=\dfrac{16}{3}- \dfrac{8}{3}=\dfrac{8}{3}$ und $x_2=\dfrac{16}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{24}{3}=8$ .

Die notwendige Bedingung $f_{4}^{\prime}(x)=0$ liefert $x_1=\dfrac{8}{3}$ und $x_{2} = 8$ .

Laut Aufgabenstellung handelt es sich bei diesen beiden Stellen um die Extremstellen von $f_{4}$ .

(ii) Bestimme eine Gleichung von $s$

Die beiden Extremstellen sind $x_1=\dfrac{8}{3}$ und $x_{2} = 8$ .

Der Graph der Funktion $s$ ist die Gerade, die durch die beiden lokalen Extrempunkte des Graphen von $f_{4}$ verläuft.

Ansatz: $s(x)=m \cdot x+b$

$m=\frac{f_4(8)-f_4\left(\frac{8}{3}\right)}{8-\frac{8}{3}}$

$f_4(8)=\frac{1}{64} 8^{3}-\frac{1}{4} 8^{2}+8=0$

$f_4(\frac{8}{3})=\frac{1}{64} \left(\frac{8}{3}\right)^{3}-\frac{1}{4}\left(\frac{8}{3}\right)^{2}+\frac{8}{3}=\frac{32}{27}$

$\Rightarrow\;m=\frac{0-\frac{32}{27}}{8-\frac{8}{3}}=-\frac{\frac{32}{27}}{\frac{16}{3}}=-\frac{32}{27}\cdot \frac{3}{16}=-\frac{2}{9}$

Einsetzen der Koordinaten von $(8 \mid f(8))=(8 \mid 0)$ und von $m=-\frac{2}{9}$ in $s$ liefert:

$-\frac{2}{9} \cdot 8+b=0 \;\Rightarrow\; b=\frac{16}{9}$ .

Eine Gleichung von $s$ lautet somit: $s(x)=-\frac{2}{9} \cdot x+\frac{16}{9}$ .

(iii) Interpretiere diese Aussage geometrisch

Der Graph von $s$ schneidet den Graphen von $f_{4}$ an einer weiteren Stelle $x = w$ .

Diese Stelle liegt zwischen der Maximal- und Minimalstelle.

Die Inhalte der Flächen, die die Graphen von $f_{4}$ und $s$ in den Intervallen $I_{1}=\left[\frac{8}{3} ; w\right]$ (grüne Fläche) und $I_{2}=[w, 8]$ (orangefarbige Fläche) einschließen, sind gleich groß. Da im Intervall $I_{1}$ der Graph von $f_{4}$ oberhalb und im Intervall $I_{2}$ unterhalb des Graphen von $s$ verläuft, hat das Integral auf dem gesamten Intervall $\left[\frac{8}{3} ; 8\right]$ den Wert null.

Also gilt: $\displaystyle\int_{\frac{8}{3}}^{8}\left(f_{4}(x)-s(x)\right) \mathrm{d} x=0$ . (vgl. Abbildung)

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Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Berechne die Stellen, an denen der Graph von f4f_{4}f4​ eine Steigung von −14-\frac{1}{4}−41​ hat

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Bestimme den Wert von aaa so, dass der Punkt (2∣2)(2|2)(2∣2) auf dem Graphen von faf_{a}fa​ liegt

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Ermittele die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von f1f_{1}f1​ und f2f_{2}f2​

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Gib die Anzahl der Nullstellen von faf_{a}fa​ in Abhängigkeit von aaa an und begründe Deine Angabe anhand der obigen Terme

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Erläutere diese Schritte und interpretiere die Lösung a=2a=2a=2 geometrisch

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(i) Skizziere in Abbildung 2 den Graphen von hhh sowie die Fläche AAA, die von x=0x=0x=0 bis x=12x=12x=12 zwischen den Graphen von f4f_{4}f4​ und hhh liegt

Abbildung 2 mit Graph h und der eingeschlossenen Fläche

(ii) Berechne den Inhalt der Fläche AAA

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(i) Bestimme rechnerisch die beiden lokalen Extremstellen von f4f_{4}f4​

(ii) Bestimme eine Gleichung von sss

(iii) Interpretiere diese Aussage geometrisch

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Berechne die Stellen, an denen der Graph von $f_{4}$ eine Steigung von $-\frac{1}{4}$ hat

Bestimme den Wert von $a$ so, dass der Punkt $(2 ∣ 2)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt

Ermittele die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründe Deine Angabe anhand der obigen Terme

Erläutere diese Schritte und interpretiere die Lösung $a = 2$ geometrisch

(i) Skizziere in Abbildung 2 den Graphen von $h$ sowie die Fläche $A$ , die von $x = 0$ bis $x = 12$ zwischen den Graphen von $f_{4}$ und $h$ liegt

(ii) Berechne den Inhalt der Fläche $A$

(i) Bestimme rechnerisch die beiden lokalen Extremstellen von $f_{4}$

(ii) Bestimme eine Gleichung von $s$