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Fruchtfliegen

Jasmin möchte für ein Biologieprojekt untersuchen, wie schnell sich Fruchtfliegen (Abbildung 1) vermehren. Sie kauft dazu zwei Zuchtboxen und bezeichnet diese mit AA und BB.

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Zuchtbox A enthält anfänglich zehn Fruchtfliegen. Jasmin bewahrt die Box in ihrem warmen Zimmer auf und protokolliert in den folgenden Tagen die Anzahl der Tiere in der

Box (Abbildung 2).

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  1. Die Anzahl der Fruchtfliegen in Zuchtbox AA wächst täglich um ca. 3030 %.

    Weise dies für den Übergang von Tag 0 auf Tag 1 nach.

  2. Jasmin stellt die Funktion ff mit der Funktionsgleichung f(x)=101,3xf(x) = 10 \cdot 1{,}3^x auf, um die Anzahl f(x)f(x) der Fruchtfliegen am Tag xx zu berechnen.

    Bestimme die voraussichtliche Anzahl an Fruchtfliegen nach 30 Tagen.

  3. Bestimme, nach wie vielen Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen erstmals größer als 100 000100\ 000 sein müsste.

  4. Zuchtbox BB enthält anfänglich 20 Fruchtfliegen (x=0x=0). Zur Berechnung der Anzahl der Fruchtfliegen in der Box an Tag x nutzt Jasmin daher die Funktion gg mit

    g(x)=20qx.g(x)=20\cdot q^x.

    Jasmin bewahrt die Zuchtbox B im kühleren Keller auf und stellt fest, dass sich die Fruchtfliegen dort langsamer vermehren als in ihrem warmen Zimmer. An Tag 11 sind es 77 Fliegen. Weise rechnerisch nach, dass q1,13q\approx1{,}13 beträgt.

  5. Jasmin vermutet: „Bei Zuchtbox BB kommen in der zweiten Woche mehr als doppelt so viele Fruchtfliegen hinzu, als in der ersten Woche hinzugekommen sind.“

    Überprüfe ihre Vermutung mit einer Rechnung.

  6. In Abbildung 3 sind die Graphen AA und BB dargestellt.

    Begründe, dass

    (1) die Funktion ff mit f(x)=101,3xf(x)=10⋅1{,}3^x durch Graph AA dargestellt wird und

    (2) die Funktion gg mit g(x)=201,13xg(x)=20⋅1{,}13^x durch Graph BB dargestellt wird.

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  7. Bestimme mithilfe von Abbildung 3 den Tag, an dem die Zuchtboxen AA und BB etwa gleich viele Fruchtfliegen enthalten und gib die Anzahl an.