Prüfungsteil 2 2024

Das Verhältnis der Anzahl der Fliegen von Tag 1 zu Tag 0 ist gegeben durch

Also ist die Anzahl der Fliegen um das $\mathrm{0,3}0\{,\}3$-fache angestiegen, was genau $30\mathrm{\%}30\backslash \%$ entspricht.

Da die Funktionsgleichung die Anzahl der Fluchtfliegen am Tag $xx$ angibt, muss man das passende $xx$ in $f(x)f(x)$ einsetzen.

Weil die Erfassung der Anzahl der Fliegen bei Tag $00$ beginnt, ist nach $3030$ Tagen der dreißigste Tag, das heißt $x=30x\; =\; 30$.

Das kann man jetzt in $f(x)f(x)$ einsetzen:

Nach $3030$ Tagen sind also voraussichtlich $2620026\backslash \; 200$ Fruchtfliegen in Zuchtbox A.

Laut der vorherigen Aufgabe ist die Anzahl der Fruchtfliegen nach $3030$ Tagen ca. $2620026\; \backslash \; 200$.

Weil das kleiner als $100000100\; \backslash \; 000$ ist, kann also erst nach mindestens $3030$ Tagen die Anzahl der Fliegen mehr als $100000100\; \backslash \; 000$ betragen.

Jetzt kannst du systematisch ausprobieren, indem du für $xx$ die Werte $31,32,\dots 31,\; 32,\; \backslash ldots$ nacheinander in $f(x)f(x)$ einsetzt und schaust, wann das erste Mal etwas Größeres als $100000100\backslash \; 000$ rauskommt.

Mit dem Taschenrechner ergibt sich hierdurch schließlich:

Also ist nach $3636$ Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen erstmals größer als $100000100\backslash \; 000$.

An Tag $1111$ beträgt die Anzahl der Fruchtfliegen $7777$.

Einsetzen von $x=11x\; =\; 11$ in $g(x)g(x)$, was Tag $1111$ entspricht, liefert:

Also ist wie behauptet $q\approx \mathrm{1,13}q\; \backslash approx\; 1\{,\}13$.

Anzahl der Fliegen nach einer Woche und zwei Wochen

Die Anzahl der Fliegen beträgt nach einer Woche, also an Tag $77$

Nach zwei Wochen, also an Tag $1414$, gilt

Berechnen der Differenzen

Zu Beginn, also an Tag $00$ betrug die Anzahl der Fliegen $20\{\backslash color\{red\}20\}$.

Innerhalb der ersten Woche sind also

Fliegen dazu gekommen. Danach sind in der zweiten Woche

Fliegen dazu gekommen.

Fazit

Es gilt , also hat Jasmin recht: In der zweiten Woche sind tatsächlich mehr als doppelt so viele Fliegen hinzugekommen wie in der ersten Woche.

Graph $AA$ verläuft durch die Punkte $(0\mathrm{\mid }10)(0|10)$ und $(3\mathrm{\mid }22)(3|22)$.

Für die Funktion $ff$ gilt

und damit gehört Graph $AA$ zu $ff$.

Graph $BB$ hingegen verläuft durch die Punkte $(0\mathrm{\mid }20)(0|20)$ und $(3\mathrm{\mid }29)(3|29)$.

Weil für die Funktion $gg$ gilt, dass

gehört also Graph $BB$ zu $gg$.

Die Anzahl der Fruchtfliegen in den Zuchtboxen $AA$ und $BB$ wird von den Funktionen $ff$und $gg$ beschrieben. Sind also in beiden Zuchtboxen gleich viele Fliegen, so müssen sich die Graphen von $ff$ und $gg$, also Graphen $AA$ und $BB$ schneiden.

Aus der Abbildung erkennt man, dass der Schnittpunkt von Graph $AA$ und Graph $BB$ bei ca. $(5\mathrm{\mid }37)(5|37)$ liegt.

Also sind nach ungefähr $55$ Tagen in beiden Zuchtboxen ca. $3737$ Fruchtfliegen vorhanden.

Berechnung des Radius

$r={\displaystyle \frac{d}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{8,8}}{2}}=\mathrm{4,4}r\; =\; \backslash dfrac\{d\}\{2\}=\backslash dfrac\{8\{,\}8\}\{2\}=4\{,\}4$

Umstellen der Formel nach $hh$

$V=\pi \cdot r^2\cdot hV\; =\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^2\backslash cdot\; h$

$h={\displaystyle \frac{V}{\pi \cdot r^2}}h\; =\; \backslash dfrac\{V\}\{\backslash pi\; \backslash cdot\; r^2\}$

Berechnung der Höhe

$h={\displaystyle \frac{906}{\pi \cdot {\mathrm{4,4}}^2}}=\mathrm{14,90}h\; =\; \backslash dfrac\{906\}\{\backslash pi\; \backslash cdot\; 4\{,\}4^2\}\; =\; 14\{,\}90$

Die Höhe des Lautsprechers beträgt ca. $\mathrm{14,9}\text{ cm}14\{,\}9\backslash cm$.

Berechnung des Radius

$r={\displaystyle \frac{d}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5r\; =\; \backslash dfrac\{d\}\{2\}=\backslash dfrac\{10\}\{2\}=5$

Berechnung des Volumens

$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot 5^3=\mathrm{523,60}V\; =\; \backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 5^3\; =\; 523\{,\}60$

Das Kugelvolumen beträgt ca. $\mathrm{523,6}{\text{ cm}}^{3}523\{,\}6\backslash cm^3$. Das Ergebnis entspricht ungefähr der Berechnung von Chris: $\mathrm{523,6}{\text{ cm}}^3\approx 524{\text{ cm}}^{3}523\{,\}6\backslash cm^3\; \backslash approx\; 524\; \backslash cm^3$

Volumen des Kugelsegments

Gegeben sind:

• $b=\mathrm{1,1}\text{ cm}b=1\{,\}1\backslash cm$ Höhe des abgetrennten Segments

• $r=5\text{ cm}r=5\backslash cm$ Radius der Kugel

$V_{\text{Kugelsegment}}=\pi \cdot b^2\cdot (r-{\displaystyle \frac{b}{3}})V\_\backslash text\{Kugelsegment\}=\backslash pi\; \backslash cdot\; b^2\; \backslash cdot\; \backslash left(r\; -\; \backslash dfrac\{b\}\{3\}\; \backslash right)$

Einsetzen der Werte

$V_{\text{Kugelsegment}}=\pi \cdot {\mathrm{1,1}}^2\cdot (5-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,1}}{3}})V\_\backslash text\{Kugelsegment\}=\backslash pi\; \backslash cdot\; 1\{,\}1^2\; \backslash cdot\; \backslash left(\; 5-\backslash dfrac\{1\{,\}1\}\{3\}\; \backslash right)$

$V_{\text{Kugelsegment}}\approx \mathrm{17,61}V\_\backslash text\{Kugelsegment\}\backslash approx\; 17\{,\}61$

Das Volumen des Kugelsegments beträgt $\approx \mathrm{17,61}{\text{ cm}}^3\backslash approx\; 17\{,\}61\backslash cm^3$

Anteil berechnen

${\displaystyle \frac{V_{\text{Kugelsegment}}}{V_{\text{Kugel}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{17,61}}{524}}\approx \mathrm{0,03}\backslash dfrac\{V\_\backslash text\{Kugelsegment\}\}\{V\_\backslash text\{Kugel\}\}=\backslash dfrac\{17\{,\}61\}\{524\}\backslash approx\; 0\{,\}03$

Das Volumen des Kugelsegments beträgt ca. $3\mathrm{\%}3\backslash \%$ des gesamten Kugelvolumens.

Die Playlist umfasst insgesamt $1010$ Titel.

Von diesen $1010$ Titeln stammen $33$ Lieder von Ed Sheeran.

Die Wahrscheinlichkeit als erstes ein Lied von Ed Sheeran zu hören, beträgt

$p={\displaystyle \frac{\text{Anzahl der Lieder von Ed Sheeran}}{\text{Anzahl der Lieder in der Playlist}}}={\displaystyle \frac{3}{10}}p=\backslash dfrac\{\backslash text\{Anzahl\; der\; Lieder\; von\; Ed\; Sheeran\}\}\{\backslash text\{Anzahl\; der\; Lieder\; in\; der\; Playlist\}\}=\backslash dfrac\{3\}\{10\}$

Erstes Lied

Bei Auswahl des ersten Lieds sind noch $1010$ Lieder in der Playlist. $33$ Lieder davon sind von Ed Sheeran.

Die Wahrscheinlichkeit, dass als Erstes ein Lied von Ed Sheeran gespielt wird, beträgt $P_1={\displaystyle \frac{3}{10}}P\_1=\backslash dfrac\{3\}\{10\}$

Zweites Lied

Bei der Auswahl des zweiten Lieds sind nur noch $99$ Lieder in der Playlist. Davon sind noch $22$ Lieder von Ed Sheeran.

Die Wahrscheinlichkeit, dass als Zweites wieder ein Lied von Ed Sheeran gespielt wird, beträgt $P_2={\displaystyle \frac{2}{9}}P\_2=\backslash dfrac\{2\}\{9\}$

Beide Lieder

Die Wahrscheinlichkeit $PP$, dass sowohl das erste als auch das zweite Lied von Ed Sheeran ist, beträgt dann:

$P=P_1\cdot P_2={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{1}{15}}\approx \mathrm{6,7}\mathrm{\%}P=P\_1\; \backslash cdot\; P\_2=\backslash dfrac\{3\}\{10\}\backslash cdot\backslash dfrac\{2\}\{9\}=\backslash dfrac\{1\}\{15\}\backslash approx\; 6\{,\}7\backslash \%$

Aus der Abbildung kann man ablesen:

• die längste Seite ist $c=10\text{ cm}c=10\backslash cm$. Dies ist die Hypotenuse, wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

• Seiten $a=6\text{ cm}a=6\backslash cm$ und $b=8\text{ cm}b=8\backslash cm$. Dies sind die Katheten., wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

$a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$

Setzt man die Werte für die Katheten ein und löst nach $cc$ auf, erhält man:

Damit ist rechnerisch gezeigt, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, dessen rechter Winkel bei $CC$ liegt.

Der Flächeninhalt $A_{\mathrm{\Delta }}A\_\backslash Delta$ des rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich mit der Formel:

$A_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{a\cdot b}{2}}A\_\backslash Delta=\backslash dfrac\{a\backslash cdot\; b\}\{2\}$

Einsetzen der Werte

$A_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{6\cdot 8}{2}}=24A\_\backslash Delta=\backslash dfrac\{6\backslash cdot\; 8\}\{2\}=24$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $24{\text{ cm}}^{2}24\backslash cm^2$

Der Flächeninhalt $A_{\mathrm{\Delta }}A\_\backslash Delta$ eines Dreiecks wird allgemein berechnet nach der Formel:

$A_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{\text{Grundseite}\cdot \text{H}\ddot{\text{o}}\text{he}}{2}}A\_\backslash Delta=\backslash dfrac\{\backslash text\{Grundseite\backslash ,\}\backslash cdot\backslash text\{Höhe\}\}\{2\}$

Für das gegebene Dreieck ist das

$A_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{c\cdot h_c}{2}}A\_\backslash Delta=\backslash dfrac\{c\backslash cdot\; h\_c\}\{2\}$

Im rechtwinkligen Dreieck kann jede Kathete als Grundseite angenommen werden und die jeweils andere Kathete als Höhe des Dreiecks, sodass gilt:

$A_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{a\cdot b}{2}}A\_\backslash Delta=\backslash dfrac\{a\backslash cdot\; b\}\{2\}$ bzw. $A_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{b\cdot a}{2}}A\_\backslash Delta=\backslash dfrac\{b\backslash cdot\; a\}\{2\}$

Beide Teile der Gleichung geben den Flächeninhalt des Dreiecks an.

Folgende Werte sind bekannt:

• Fläche des Dreiecks $24{\text{ cm}}^{2}24\backslash cm^2$

• Länge der Seite $c=10\text{ cm}c=10\backslash cm$

Mit diesen Werten kann man die Formel (s. Teilaufgabe c)

$A_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{c\cdot h_c}{2}}A\_\backslash Delta=\backslash dfrac\{c\backslash cdot\; h\_c\}\{2\}$

verwenden, um die Höhe $h_{c}h\_c$ zu berechnen.

Die Höhe $h_{c}h\_c$ beträgt $\mathrm{4,8}\text{ cm}4\{,\}8\backslash cm$.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}\backslash cos\{(\backslash alpha)\}=\backslash dfrac\{\backslash text\{Ankathete\}\}\{\backslash text\{Hypotenuse\}\}$

Einsetzen der Werte

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{8}{10}}\backslash cos\{(\backslash alpha)\}=\backslash dfrac\{b\}\{c\}=\backslash dfrac\{8\}\{10\}$

$\alpha \approx {\mathrm{36,9}}^{\circ }\backslash alpha\backslash approx\; 36\{,\}9^\backslash circ$

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

$c^2=a^2+b^{2}c^2=a^2+b^2$

Für das gleichschenklige Dreieck gilt $b=ab=a$

Daher gilt für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit $c=10c=10$:

Die Länge der Seite $aa$ beträgt $\approx \mathrm{7,07}\text{ cm}\backslash approx\; 7\{,\}07\backslash cm$.

Für ein gleichseitiges Dreieck gilt, dass alle Innenwinkel gleich groß sind.

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt ${180}^{\circ }180^\backslash circ$.

Wenn alle Innenwinkel gleich groß sind, dann hat ein Winkel ${\displaystyle \frac{180}{3}}={60}^{\circ }\backslash dfrac\{180\}\{3\}=60^\backslash circ$

Es kann also kein rechtwinkliges Dreieck geben, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

Kais Behauptung stimmt nicht.