Prüfungsteil 2 2024 - lernen mit Serlo!

Lautsprecher

Chris möchte sich einen Lautsprecher kaufen. Er vergleicht dazu Maße und Volumen des zylinderförmigen Modells Echo mit den Maßen und dem Volumen des näherungsweise kugelförmigen Modells Dot (Abbildung 1).

Das Volumen des zylinderförmigen Modells Echo beträgt ca. $906 \cm^3$ .
Berechne die Höhe des Lautsprechers.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Berechnung des Radius
$r = \dfrac{d}{2}=\dfrac{8{,}8}{2}=4{,}4$
Umstellen der Formel nach $h$
$V = \pi \cdot r^2\cdot h$
$h = \dfrac{V}{\pi \cdot r^2}$
Berechnung der Höhe
$h = \dfrac{906}{\pi \cdot 4{,}4^2} = 14{,}90$
Die Höhe des Lautsprechers beträgt ca. $14{,}9\cm$ .
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Verwende die Formel für das Volumen eines Zylinders: $V = \pi \cdot r^2\cdot h$ .
Berechne den Radius $r$ durch Halbierung des Durchmessers $r = \dfrac{d}{2}$ .
Stelle die Formel nach der Höhe $h$ um.
Als Näherungslösung berechnet Chris für das Modell Dot das Kugelvolumen. Als Ergebnis erhält er ca. $524 \cm^3$ .
Bestätige durch eine Rechnung das Kugelvolumen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
Berechnung des Radius
$r = \dfrac{d}{2}=\dfrac{10}{2}=5$
Berechnung des Volumens
$V = \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot 5^3 = 523{,}60$
Das Kugelvolumen beträgt ca. $523{,}6\cm^3$ . Das Ergebnis entspricht ungefähr der Berechnung von Chris: $523{,}6\cm^3 \approx 524 \cm^3$
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Verwende die Formel für das Volumen einer Kugel : $V = \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$ .
Berechne den Radius $r$ durch Halbierung des Durchmessers $r = \dfrac{d}{2}$ .
Setzte den Wert für $r$ in die Formel ein und berechne somit das Kugelvolumen.
Vergleiche deinen berechneten Wert mit dem Wert aus der Angabe.
Damit das Modell Dot stabil steht, hat der Hersteller unten ein Kugelsegment abgetrennt. Das Volumen des abgetrennten
Kugelsegments (Abbildung 2) wird mit folgender Formel berechnet:
$V_{\text{Kugelsegment}} = π \cdot b^2\cdot (r-\displaystyle \dfrac{b}{3})$
$b$ ist die Höhe des abgetrennten Kugelsegments und $r$ der Radius der Kugel.
Bestätige mit einer Rechnung, dass das Volumen des abgetrennten Kugelsegments ca.
$3$ % des Kugelvolumens entspricht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Volumen des Kugelsegments
Gegeben sind:
$b=1{,}1\cm$ Höhe des abgetrennten Segments
$r=5\cm$ Radius der Kugel
$V_\text{Kugelsegment}=\pi \cdot b^2 \cdot \left(r - \dfrac{b}{3} \right)$
Einsetzen der Werte
$V_\text{Kugelsegment}=\pi \cdot 1{,}1^2 \cdot \left( 5-\dfrac{1{,}1}{3} \right)$
$V_\text{Kugelsegment}\approx 17{,}61$
Das Volumen des Kugelsegments beträgt $\approx 17{,}61\cm^3$
Anteil berechnen
$\dfrac{V_\text{Kugelsegment}}{V_\text{Kugel}}=\dfrac{17{,}61}{524}\approx 0{,}03$
Das Volumen des Kugelsegments beträgt ca. $3 %$ des gesamten Kugelvolumens.
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Setze die bekannten Werte in die gegebene Formel ein und berechne das Volumen des Kugelsegments
Verwende das Volumen des kugelförmigen Modells aus Aufgabe b) und berechne den Anteil des abgetrennten Stücks am Gesamtvolumen
Chris hat sich das Modell Dot gekauft und erstellt eine Playlist mit Liedern seiner drei Lieblingskünstler (Abbildung 3).
Die Lieder der Playlist lässt er in zufälliger Reihenfolge abspielen.
Erläutere, dass die Wahrscheinlichkeit, als erstes ein Lied des Sängers Ed Sheeran zu hören, $p = \displaystyle \dfrac{3}{10}$ beträgt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Die Playlist umfasst insgesamt $10$ Titel.
Von diesen $10$ Titeln stammen $3$ Lieder von Ed Sheeran.
Die Wahrscheinlichkeit als erstes ein Lied von Ed Sheeran zu hören, beträgt
$p=\dfrac{\text{Anzahl der Lieder von Ed Sheeran}}{\text{Anzahl der Lieder in der Playlist}}=\dfrac{3}{10}$
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Zähle die Anzahl der Lieder der Playlist
Zähle die Anzahl der Lieder von Ed Sheeran
Berechne daraus die Wahrscheinlichkeit
Bei der zufälligen Wiedergabe wird aus der Playlist jedes Lied nur genau einmal abgespielt.
Von einer Künstlerin/einem Künstler können aber mehrere Lieder nacheinander gespielt werden. Das Baumdiagramm
in Abbildung 4 stellt das Abspielen der ersten beiden Lieder dar.
Ergänze die sechs fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Beim ersten Ziehen wird ein Lied aus einer Menge von $10$ Liedern ausgewählt.
Beim zweiten Ziehen besteht die Gesamtmenge, aus der ausgewählt wird, nur noch aus $9$ Liedern, da jedes Lied nur genau einmal abgespielt wird.
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Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden ersten Lieder von Ed Sheeran stammen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Erstes Lied
Bei Auswahl des ersten Lieds sind noch $10$ Lieder in der Playlist. $3$ Lieder davon sind von Ed Sheeran.
Die Wahrscheinlichkeit, dass als Erstes ein Lied von Ed Sheeran gespielt wird, beträgt $P_1=\dfrac{3}{10}$
Zweites Lied
Bei der Auswahl des zweiten Lieds sind nur noch $9$ Lieder in der Playlist. Davon sind noch $2$ Lieder von Ed Sheeran.
Die Wahrscheinlichkeit, dass als Zweites wieder ein Lied von Ed Sheeran gespielt wird, beträgt $P_2=\dfrac{2}{9}$
Beide Lieder
Die Wahrscheinlichkeit $P$ , dass sowohl das erste als auch das zweite Lied von Ed Sheeran ist, beträgt dann:
$P=P_1 \cdot P_2=\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{15}\approx 6{,}7\%$
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Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Lied von Ed Sheeran stammt.
Berechne mit der neuen Playlist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das zweite Lied von Ed Sheeran stammt.
Multipliziere die beiden Wahrscheinlichkeiten