Prüfungsteil 2 2024 - lernen mit Serlo!

Fruchtfliegen

Jasmin möchte für ein Biologieprojekt untersuchen, wie schnell sich Fruchtfliegen (Abbildung 1) vermehren. Sie kauft dazu zwei Zuchtboxen und bezeichnet diese mit $A$ und $B$ .

Zuchtbox A enthält anfänglich zehn Fruchtfliegen. Jasmin bewahrt die Box in ihrem warmen Zimmer auf und protokolliert in den folgenden Tagen die Anzahl der Tiere in der

Box (Abbildung 2).

Die Anzahl der Fruchtfliegen in Zuchtbox $A$ wächst täglich um ca. $30$ %.
Weise dies für den Übergang von Tag 0 auf Tag 1 nach.
Das Verhältnis der Anzahl der Fliegen von Tag 1 zu Tag 0 ist gegeben durch
$\frac{13}{10} = 1,3.$
Also ist die Anzahl der Fliegen um das $0,3$ -fache angestiegen, was genau $30 %$ entspricht.
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Bestimmte das Verhältnis der Fruchtfliegen von Tag 0 zu Tag 1.
Jasmin stellt die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f (x) = 10 \cdot {1,3}^{x}$ auf, um die Anzahl $f (x)$ der Fruchtfliegen am Tag $x$ zu berechnen.
Bestimme die voraussichtliche Anzahl an Fruchtfliegen nach 30 Tagen.
Da die Funktionsgleichung die Anzahl der Fluchtfliegen am Tag $x$ angibt, muss man das passende $x$ in $f (x)$ einsetzen.
Weil die Erfassung der Anzahl der Fliegen bei Tag $0$ beginnt, ist nach $30$ Tagen der dreißigste Tag, das heißt $x = 30$ .
Das kann man jetzt in $f (x)$ einsetzen:
$f (30) = 10 \cdot {1,3}^{30} \approx 26 200.$
Nach $30$ Tagen sind also voraussichtlich $26 200$ Fruchtfliegen in Zuchtbox A.
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Überlege dir, welchem $x$ der 30. Tag entspricht.
Setze dieses $x$ in die Funktionsgleichung von $f$ ein.
Bestimme, nach wie vielen Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen erstmals größer als $100 000$ sein müsste.
Laut der vorherigen Aufgabe ist die Anzahl der Fruchtfliegen nach $30$ Tagen ca. $26 200$ .
Weil das kleiner als $100 000$ ist, kann also erst nach mindestens $30$ Tagen die Anzahl der Fliegen mehr als $100 000$ betragen.
Jetzt kannst du systematisch ausprobieren, indem du für $x$ die Werte $31, 32, \dots$ nacheinander in $f (x)$ einsetzt und schaust, wann das erste Mal etwas Größeres als $100 000$ rauskommt.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich hierdurch schließlich:
$f (35)$ $=$ $10 \cdot {1,3}^{35} = 97 278, \dots$
$f (36)$ $=$ $10 \cdot {1,3}^{36} = 126 462, \dots$
Also ist nach $36$ Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen erstmals größer als $100 000$ .
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Überlege dir zunächst mithilfe der vorherigen Aufgaben, wie viele Tage mindestens vergangen sein müssen, damit $100 000$ Fliegen vorhanden sein können.
Probiere dann mithilfe des Taschenrechners systematisch aus, ab welchem Tag die Anzahl der Fliegen größer als $100 000$ ist, indem du verschiedene $x$ -Werte in $f (x)$ einsetzt.

Zuchtbox $B$ enthält anfänglich 20 Fruchtfliegen ( $x = 0$ ). Zur Berechnung der Anzahl der Fruchtfliegen in der Box an Tag x nutzt Jasmin daher die Funktion $g$ mit

$g (x) = 20 \cdot q^{x} .$

Jasmin bewahrt die Zuchtbox B im kühleren Keller auf und stellt fest, dass sich die Fruchtfliegen dort langsamer vermehren als in ihrem warmen Zimmer. An Tag 11 sind es 77 Fliegen. Weise rechnerisch nach, dass $q \approx 1,13$ beträgt.

Jasmin vermutet: „Bei Zuchtbox $B$ kommen in der zweiten Woche mehr als doppelt so viele Fruchtfliegen hinzu, als in der ersten Woche hinzugekommen sind.“
Überprüfe ihre Vermutung mit einer Rechnung.
Anzahl der Fliegen nach einer Woche und zwei Wochen
Die Anzahl der Fliegen beträgt nach einer Woche, also an Tag $7$
$g (7) = 20 \cdot {1,13}^{7} \approx 47 .$
Nach zwei Wochen, also an Tag $14$ , gilt
$g (14) = 20 \cdot {1,13}^{14} \approx 110 .$
Berechnen der Differenzen
Zu Beginn, also an Tag $0$ betrug die Anzahl der Fliegen $20$ .
Innerhalb der ersten Woche sind also
$47 - 20 = 27$
Fliegen dazu gekommen. Danach sind in der zweiten Woche
$110 - 47 = 63$
Fliegen dazu gekommen.
Fazit
Es gilt $2 \cdot 27 = 54 < 63$ , also hat Jasmin recht: In der zweiten Woche sind tatsächlich mehr als doppelt so viele Fliegen hinzugekommen wie in der ersten Woche.
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Berechne mithilfe der Funktion $g$ die Anzahl der Fliegen nach einer und nach zwei Wochen.
Ermittle dann die Differenzen, um herauszufinden, wie viele Fliegen in der ersten und in der zweiten Woche dazu gekommen sind.
Überprüfe nun, ob wirklich doppelt so viele Fliegen in der zweiten Woche hinzugekommen sind wie in der ersten Woche.
In Abbildung 3 sind die Graphen $A$ und $B$ dargestellt.
Begründe, dass
(1) die Funktion $f$ mit $f (x) = 10 \cdot {1,3}^{x}$ durch Graph $A$ dargestellt wird und
(2) die Funktion $g$ mit $g (x) = 20 \cdot {1,13}^{x}$ durch Graph $B$ dargestellt wird.
Graph $A$ verläuft durch die Punkte $(0 | 10)$ und $(3 | 22)$ .
Für die Funktion $f$ gilt
$f (0)$ $=$ $10 \cdot {1,3}^{0} = 10$
$f (3)$ $=$ $10 \cdot {1,3}^{3} = 21,97 \approx 22$
und damit gehört Graph $A$ zu $f$ .
Graph $B$ hingegen verläuft durch die Punkte $(0 | 20)$ und $(3 | 29)$ .
Weil für die Funktion $g$ gilt, dass
$g (0)$ $=$ $20 \cdot {1,13}^{0} = 20$
$g (3)$ $=$ $20 \cdot {1,13}^{3} = 28,8 \dots \approx 29$
gehört also Graph $B$ zu $g$ .
BeachteDu kannst auch andere Punkte als die Obigen benutzen
Anstatt zum Beispiel den Punkt $(3 | 22)$ bei Graph $A$ herzunehmen, könntest du auch mit dem Punkt $(5 | 37)$ argumentieren.
Wichtig ist eigentlich nur, dass du die Funktionen an jeweils zwei Punkten überprüfst.
Es ist aber natürlich hilfreich, Punkte zu wählen, an denen man den Graph gut ablesen kann. Beispielsweise ist es für den $x$ -Wert $6$ schwieriger, den zugehörigen $y$ -Wert von Graph $A$ abzulesen.
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Ermittle aus der Abbildung für beide Graphen $A$ und $B$ jeweils zwei Punkte, durch welche sie verlaufen und überprüfe, dass diese mit den entsprechenden Werten von $f$ und $g$ übereinstimmen.
Bestimme mithilfe von Abbildung 3 den Tag, an dem die Zuchtboxen $A$ und $B$ etwa gleich viele Fruchtfliegen enthalten und gib die Anzahl an.
Die Anzahl der Fruchtfliegen in den Zuchtboxen $A$ und $B$ wird von den Funktionen $f$ und $g$ beschrieben. Sind also in beiden Zuchtboxen gleich viele Fliegen, so müssen sich die Graphen von $f$ und $g$ , also Graphen $A$ und $B$ schneiden.
Aus der Abbildung erkennt man, dass der Schnittpunkt von Graph $A$ und Graph $B$ bei ca. $(5 | 37)$ liegt.
Also sind nach ungefähr $5$ Tagen in beiden Zuchtboxen ca. $37$ Fruchtfliegen vorhanden.
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Überlege dir, wie du in der Skizze erkennen kannst, wann die Anzahl der Fruchtfliegen in beiden Zuchtboxen ungefähr gleich groß ist.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$g (11)$	$=$	$77$
	↓	Einsetzen der Funktionsgleichung
$20 \cdot q^{11}$	$=$	$77$	$\div 20$
$q^{11}$	$=$	$\frac{77}{20}$	$\sqrt[11]{()}$
	↓	Weil sich die Anzahl der Fruchtfliegen vermehrt, wissen wir, dass $q > 0$ und damit müssen wir uns keine Sorgen wegen des Vorzeichens machen
$q$	$=$	$\sqrt[11]{\frac{77}{20}} \approx 1,13$

$f (35)$	$=$	$10 \cdot {1,3}^{35} = 97 278, \dots$
$f (36)$	$=$	$10 \cdot {1,3}^{36} = 126 462, \dots$

$f (0)$	$=$	$10 \cdot {1,3}^{0} = 10$
$f (3)$	$=$	$10 \cdot {1,3}^{3} = 21,97 \approx 22$

$g (0)$	$=$	$20 \cdot {1,13}^{0} = 20$
$g (3)$	$=$	$20 \cdot {1,13}^{3} = 28,8 \dots \approx 29$

Fruchtfliegen

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Anzahl der Fliegen nach einer Woche und zwei Wochen

Berechnen der Differenzen

Fazit

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