Teil B- Aufgabengruppe II - lernen mit Serlo!

Johannes kauft einen neuen Elektroroller im Wert von $3250 €$ .

Ermitteln Sie rechnerisch, nach wie vielen Jahren dieser Elektroroller noch
einen Wert von $880 €$ hätte, wenn man von einem jährlichen Wertverlust von
$23 %$ ausgeht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
Möglichkeit 1: Tabelle
Eine Möglichkeit, um die Lösung zu finden, ist, den Wert des Rollers für jedes neue Jahr zu berechnen, bis er $880 €$ erreicht.
Dafür multipliziert man den Wert des Rollers mit $100 % - 23 % = 77 %$ , um $23 %$ vom abzuziehen.
vergangene
Zeit in
Jahren
1
2
3
4
5
Wert des
Elektrorollers
(gerundet)
$2502,5$
$1926,93$
$1483,73$
$1142,48$
$879,7$
Möglichkeit 2: Logarithmus
Die zweite Möglichkeit ist, eine Gleichung aufzustellen, bei der die Variable $x$ als die Anzahl der vergangenen Jahre definiert ist, und dann nach $x$ aufzulösen.
$3250 \cdot {0,77}^{x}$ $=$ $880$ $: 3250$
${0,77}^{x}$ $=$ $\frac{880}{3250}$ $\log_{0,77}$
$x$ $=$ $\log_{0,77} (\frac{880}{3250})$
$x$ $\approx$ $5$
Nach $5$ Jahren hat der Roller einen Wert von ca. $880 €$ erreicht.
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Möglichkeit 1: Berechne den Wert des Rollers nach einem Jahr, nach zwei Jahren, etc. bis er nur noch $880 €$ wert ist
Möglichkeit 2: Stelle basierend auf der Aufgabenstellung eine Exponentialfunktion auf und berechne damit die Anzahl an Jahren, nach denen der Roller nur noch $880 €$ wert ist
Der Roller verliert in Wirklichkeit aber anfangs schneller an Wert.
So beträgt die Wertminderung im ersten Jahr $26 %$ , im zweiten Jahr $24 %$
und in den beiden Folgejahren jeweils $18,5 %$ .
Berechnen Sie den Wert des Elektrorollers nach diesen vier Jahren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Um den Wert des Rollers nach dem ersten Jahr zu berechnen, zieht man vom Anfangswert den Verlust ab.
Den Verlust berechnet man, indem man den Anfangswert mit der Wertminderung multipliziert.
$3250 - (3250 \cdot 0,26) = 3250 - 845 = 2405$
Dann rechnet man genauso für die folgenden drei Jahre:
$2405 - (2405 \cdot 0,24) = 2405 - 577,2 = 1827,8$
$1827,8 - (1827,8 \cdot 0,185) = 1827,8 - 338,143 = 1489,657$
$1489,657 - (1489,657 \cdot 0,185) = 1489,657 - 275,586545 = 1214,070455$
Der Roller ist nach $4$ Jahren also ca. $1214,07 €$ Wert.
Alternative:
Der Roller hat nach dem ersten Jahr noch $74 % = 0,74$ des ursprünglichen Werts von $3250 €$ . Man kann den Restwert also berechnen, wenn man den Ausgangswert mit $0,74$ multipliziert. Genauso kann man den Wertverlust in den folgenden Jahren durch Multiplikationen mit $0,76$ und zweimal mit $0,815$ berechnen:
$Restwert = 3250 \cdot 0,74 \cdot 0,76 \cdot 0,815 \cdot 0,815 = 1214,07$
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Ein Schulfreund von Johannes kauft sich einen vier Jahre alten Elektroroller
im Wert von $1129 €$ .
Berechnen Sie den Neupreis des Rollers bei einer jährlichen Wertminderung
von $21 %$ in den ersten vier Jahren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Um den Wert zu berechnen, den der Roller vor vier Jahren hatte, definiert man zuerst $x$ als den Neupreis des Rollers.
Multipliziert man $x$ viermal mit $100 % - 21 % = 79 %$ , errechnet man den Preis nach $4$ Jahren, also $1129 €$ .
Mit diesen Informationen kann man eine Gleichung aufstellen und dann nach $x$ auflösen:
$x \cdot (0,79)^{4}$ $=$ $1129$ $: (0,79)^{4}$
$x$ $=$ $\frac{1129}{{0,79}^{4}}$
$x$ $\approx$ $2898,58$
Der Roller hat neu also ca. $2898,58 €$ gekostet.
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Stelle eine Variable $x$ auf, die als der Neupreis des Rollers definiert ist
Stelle mit den Informationen aus der Aufgabenstellung eine Gleichung auf und löse nach $x$ auf

vergangene Zeit in Jahren	1	2	3	4	5
Wert des Elektrorollers (gerundet)	$2502,5$	$1926,93$	$1483,73$	$1142,48$	$879,7$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$3250 \cdot {0,77}^{x}$	$=$	$880$	$: 3250$
${0,77}^{x}$	$=$	$\frac{880}{3250}$	$\log_{0,77}$
$x$	$=$	$\log_{0,77} (\frac{880}{3250})$
$x$	$\approx$	$5$

$x \cdot (0,79)^{4}$	$=$	$1129$	$: (0,79)^{4}$
$x$	$=$	$\frac{1129}{{0,79}^{4}}$
$x$	$\approx$	$2898,58$

Möglichkeit 1: Tabelle

Möglichkeit 2: Logarithmus

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