Teil B- Aufgabengruppe II - lernen mit Serlo!

Johannes kauft einen neuen Elektroroller im Wert von $3250\ €$ .

Ermitteln Sie rechnerisch, nach wie vielen Jahren dieser Elektroroller noch

einen Wert von $880\ €$ hätte, wenn man von einem jährlichen Wertverlust von

$23 %$ ausgeht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

Möglichkeit 1: Tabelle

Eine Möglichkeit, um die Lösung zu finden, ist, den Wert des Rollers für jedes neue Jahr zu berechnen, bis er $880 \ €$ erreicht.

Dafür multipliziert man den Wert des Rollers mit $100 \% - 23\% = 77\%$ , um $23 %$ vom abzuziehen.

vergangene Zeit in Jahren	1	2	3	4	5
Wert des Elektrorollers (gerundet)	$2502,5$	$1926,93$	$1483,73$	$1142,48$	$879,7$

Möglichkeit 2: Logarithmus

Die zweite Möglichkeit ist, eine Gleichung aufzustellen, bei der die Variable $x$ als die Anzahl der vergangenen Jahre definiert ist, und dann nach $x$ aufzulösen.

$\displaystyle 3250 \cdot 0{,}77^x$	$=$	$\displaystyle 880$	$\displaystyle : 3250$
$\displaystyle 0{,}77^x$	$=$	$\displaystyle \frac{880}{3250}$	$\displaystyle \log_{0{,}77}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{0{,}77} \left( \frac{880}{3250} \right)$
$\displaystyle x$	$\approx ≈$	$\displaystyle 5$

Nach $5$ Jahren hat der Roller einen Wert von ca. $880 \ €$ erreicht.

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Der Roller verliert in Wirklichkeit aber anfangs schneller an Wert.
So beträgt die Wertminderung im ersten Jahr $26 %$ , im zweiten Jahr $24 %$
und in den beiden Folgejahren jeweils $18{,}5\ \%$ .
Berechnen Sie den Wert des Elektrorollers nach diesen vier Jahren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Um den Wert des Rollers nach dem ersten Jahr zu berechnen, zieht man vom Anfangswert den Verlust ab.
Den Verlust berechnet man, indem man den Anfangswert mit der Wertminderung multipliziert.
$3250 - (3250 \cdot 0{,}26) = 3250 - 845 = 2405$
Dann rechnet man genauso für die folgenden drei Jahre:
$2405 - (2405 \cdot 0{,}24) = 2405 - 577{,}2 = 1827{,}8$
$1827{,}8 - (1827{,}8 \cdot 0{,}185) =1827{,}8 - 338{,}143 = 1489{,}657$
$1489{,}657 - (1489{,}657 \cdot 0{,}185) = 1489{,}657 - 275{,}586545 = 1214{,}070455$
Der Roller ist nach $4$ Jahren also ca. $1214{,}07 \, €$ Wert.
Alternative:
Der Roller hat nach dem ersten Jahr noch $74\%=0{,}74$ des ursprünglichen Werts von $3250\,€$ . Man kann den Restwert also berechnen, wenn man den Ausgangswert mit $0,74$ multipliziert. Genauso kann man den Wertverlust in den folgenden Jahren durch Multiplikationen mit $0,76$ und zweimal mit $0,815$ berechnen:
$\text{Restwert}=3250\cdot0{,}74\cdot0{,}76\cdot0{,}815\cdot0{,}815=1214{,}07$
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Ein Schulfreund von Johannes kauft sich einen vier Jahre alten Elektroroller

im Wert von $1129\ €$ .

Berechnen Sie den Neupreis des Rollers bei einer jährlichen Wertminderung

von $21 %$ in den ersten vier Jahren.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\displaystyle x \cdot (0{,}79)^4$	$=$	$\displaystyle 1129$	$\displaystyle : (0{,}79)^4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1129}{0{,}79^4}$
$\displaystyle x$	$\approx ≈$	$\displaystyle 2898{,}58$