Ermittele rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$

Bekannt ist: Der Innenhof $A_{4} A_{3} P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.

Aus Symmetriegründen muss der Punkt $P$ auf der $x_{1}$-Achse liegen (siehe Abbildung 3).

Die Differenz der $x_2$-Koordinaten von $A_3$ und $A_4$ ist gleich $10$, d.h. die Seiten des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ besitzen eine Länge von $\left|\overline{A_{3} A_{4}}\right|=10\;\mathrm{LE}$.

Die Höhe $h_{D}$ des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

$h_{D}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=\sqrt{75}=5 \cdot \sqrt{3}$

Die Höhe $h_{D}$ des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ beträgt $5 \cdot \sqrt{3}\;\mathrm{LE}$.

Der Höhenschnittpunkt im gleichseitigen Dreieck teilt jede Höhe im Verhältnis $2:1$.

Vom Koordinatenursprung aus gesehen hat $P$ die $x_1$-Koordinate $p_1=-\dfrac{2}{3}\cdot h_D=-\dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{75}$.

Damit gilt: $P\left(-\frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3}\Big \vert0\Big \vert 0\right) \approx P(-5{,}77|0| 0)$.

Berechne den Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung $O(0|0| 0)$

Gegeben ist $A_{4}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\Big \vert-5\Big \vert 0\right)$ und das Dreieck ist gleichseitig.

Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung ist gleich $\dfrac{2}{3}\cdot h_D=\dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{75}$.

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}_{4}}\right|=\dfrac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} \approx 5{,}77$

Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung beträgt rund $5{,}77\;\mathrm{LE}$.

Anmerkung: Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung kann auch mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.